Verifique se a função f é contínua no ponto especificado. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 1 & \text { se } x=0\end{array}\right. no ponto x=0
1-\cos x = 2\sin^2\!\bigg(\frac{x}{2}\bigg)\le 2\cdot\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}.
Passo 4
A partir de 0\le 1-\cos x\le \dfrac{x^2}{2} (observe que 1-\cos x\ge0 para todo x) podemos dividir em dois casos para obter cotas da razão \dfrac{1-\cos x}{x}.
Se x>0, dividindo por x>0 resulta
0 \le \frac{1-\cos x}{x} \le \frac{x}{2}.
Se x<0, dividindo por x<0 (a desigualdade inverte) resulta
quando se olha para os limites por ambos os lados, mas é mais claro ver que, para x\to0, as duas cotas superiores e inferiores tendem a 0 porque \dfrac{x}{2}\to0.
Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem): se uma função h(x) satisfaz g(x)\le h(x)\le k(x) numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0) e \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}k(x)=L, então \lim_{x\to0}h(x)=L. Aqui tomamos h(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}, g(x)=\dfrac{x}{2} e k(x)=\dfrac{x}{2} (com sinais adequados à esquerda/direita), e como \lim_{x\to0}\dfrac{x}{2}=0 obtemos
Mas o valor dado pela definição da função em 0 é f(0)=1. Como o limite (0) é diferente de f(0)(1), a condição de continuidade \lim_{x\to0}f(x)=f(0) não é satisfeita.
Adicional (observação útil): nesse caso o limite existe e é finito mas difere do valor da função; isso é chamado de descontinuidade removível — bastaria redefinir f(0)=0 para tornar a função contínua em 0.