Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 1 & \text { se } x=0\end{array}\right. no ponto x=0

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x},&\text{se }x\neq0,\\[6pt] 1,&\text{se }x=0,\end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto x=0.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A definição de f(x) para x\neq0 é \dfrac{1-\cos x}{x}.
  • O valor atribuído em x=0 é f(0)=1.
  • A pergunta é: a função é contínua em x=0?]

Passo 2

Lembrando o que significa ser contínuo em um ponto (explicação didática):
  • Uma função f é contínua em x=0 se e somente se existir o limite \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) e ele for igual ao valor da função no ponto, isto é,
\text{continuidade em }0\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to0}f(x)=f(0).
Portanto, para verificar continuidade em 0 precisamos:
  1. calcular \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x} (porque essa é a expressão para x\neq0), e
  2. comparar esse limite com f(0)=1.

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}. Primeiro uso uma identidade trigonométrica simples que ajuda a estimar a expressão:
1-\cos x = 2\sin^2\!\bigg(\frac{x}{2}\bigg).
Essa identidade é exata e vale para todo x. Substituindo,
\frac{1-\cos x}{x} = \frac{2\sin^2\!\big(\tfrac{x}{2}\big)}{x}.
Agora uso uma desigualdade trigonométrica elementar: para todo número real t vale |\sin t|\le |t|. Aplicando com t=\tfrac{x}{2} obtém-se
\bigg|\sin\!\bigg(\frac{x}{2}\bigg)\bigg|\le \bigg|\frac{x}{2}\bigg|.
Elevando ao quadrado:
\sin^2\!\bigg(\frac{x}{2}\bigg)\le \bigg(\frac{x}{2}\bigg)^2=\frac{x^2}{4}.
Multiplicando por 2 obtemos a desigualdade útil
1-\cos x = 2\sin^2\!\bigg(\frac{x}{2}\bigg)\le 2\cdot\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}.

Passo 4

A partir de 0\le 1-\cos x\le \dfrac{x^2}{2} (observe que 1-\cos x\ge0 para todo x) podemos dividir em dois casos para obter cotas da razão \dfrac{1-\cos x}{x}.
  • Se x>0, dividindo por x>0 resulta
0 \le \frac{1-\cos x}{x} \le \frac{x}{2}.
  • Se x<0, dividindo por x<0 (a desigualdade inverte) resulta
0 \ge \frac{1-\cos x}{x} \ge \frac{x}{2}.
Essas duas desigualdades podem ser resumidas como
\frac{x}{2} \le \frac{1-\cos x}{x} \le \frac{x}{2}
quando se olha para os limites por ambos os lados, mas é mais claro ver que, para x\to0, as duas cotas superiores e inferiores tendem a 0 porque \dfrac{x}{2}\to0.
Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem): se uma função h(x) satisfaz g(x)\le h(x)\le k(x) numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0) e \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}k(x)=L, então \lim_{x\to0}h(x)=L. Aqui tomamos h(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}, g(x)=\dfrac{x}{2} e k(x)=\dfrac{x}{2} (com sinais adequados à esquerda/direita), e como \lim_{x\to0}\dfrac{x}{2}=0 obtemos
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.
Mas o valor dado pela definição da função em 0 é f(0)=1. Como o limite (0) é diferente de f(0) (1), a condição de continuidade \lim_{x\to0}f(x)=f(0) não é satisfeita.
Adicional (observação útil): nesse caso o limite existe e é finito mas difere do valor da função; isso é chamado de descontinuidade removível — bastaria redefinir f(0)=0 para tornar a função contínua em 0.

Resposta

Não, f não é contínua em x=0.

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