O valor da integral \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{4} \theta d \theta, tendo em vista que \cos ^{2} x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x, é
Escolha uma opção:
a. 3 \pi / 8
b. 3 \pi / 16
c. 13 \pi / 6
d. 13 \pi / 16
e. 5 \pi / 16

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta
usando a identidade
\cos^{2}x = \tfrac12 + \tfrac12\cos2x.
Logo, o conteúdo é manipulação de identidades trigonométricas e integração term a term.

Passo 2

Escrevemos
\cos^{4}\theta = \bigl(\cos^{2}\theta\bigr)^{2} = \Bigl(\tfrac12 + \tfrac12\cos2\theta\Bigr)^{2} = \tfrac14 + \tfrac12\cos2\theta + \tfrac14\cos^{2}2\theta.

Passo 3

Para eliminar \cos^{2}2\theta, aplicamos de novo a identidade com x=2\theta:
\cos^{2}2\theta = \tfrac12 + \tfrac12\cos4\theta.
Substituindo em \cos^{4}\theta obtém-se
\cos^{4}\theta = \tfrac14 + \tfrac12\cos2\theta + \tfrac14\Bigl(\tfrac12 + \tfrac12\cos4\theta\Bigr) = \tfrac38 + \tfrac12\cos2\theta + \tfrac18\cos4\theta.

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\Bigl(\tfrac38 + \tfrac12\cos2\theta + \tfrac18\cos4\theta\Bigr)d\theta.
Cada peça dá
\int_{0}^{\pi/2}\tfrac38\,d\theta = \tfrac38\cdot\tfrac{\pi}{2} = \tfrac{3\pi}{16},
\int_{0}^{\pi/2}\tfrac12\cos2\theta\,d\theta = \tfrac12\cdot\Bigl[\tfrac12\sin2\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \tfrac12\cdot 0 = 0,
\int_{0}^{\pi/2}\tfrac18\cos4\theta\,d\theta = \tfrac18\cdot\Bigl[\tfrac{1}{4}\sin4\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \tfrac18\cdot 0 = 0.
Somando dá
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \tfrac{3\pi}{16}.

Resposta

b. \tfrac{3\pi}{16}

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