integral-infty^infty 1p(x) d x, onde p(x) é o polinômio x^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-infty^infty 1p(x) dx, onde p(x) = x^2 + 1. Esse exercício está no campo do Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias e funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que têm termos quadráticos no denominador e como lidar com os limites de integração que vão do infinito negativo ao infinito positivo.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função 1x^2 + 1 é uma função par, ou seja, f(-x) = f(x). Isso é útil porque integrais de funções pares de -infty a infty podem ser simplificadas multiplicando a integral de 0 a infty por 2:
integral-infty^infty 1x^2 + 1 dx = 2 integral0^infty 1x^2 + 1 dx

Passo 3

Agora, vamos focar em resolver integral0^infty 1x^2 + 1 dx. Sabemos que a integral de 1x^2 + a^2 é 1a arctan(xa) + C, onde C é a constante de integração. No nosso caso, a = 1, então:
integral 1x^2 + 1 dx = arctan(x) + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a infty:
integral0^infty 1x^2 + 1 dx = [ arctan(x) ]0^infty
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos arctan(infty). Sabemos que arctan(x) se aproxima de pi2 conforme x vai para o infinito. Então:
arctan(infty) = pi2
E arctan(0) = 0.

Passo 6

Subtraindo os limites:
[ arctan(infty) - arctan(0) ] = pi2 - 0 = pi2
Então, a integral de 0 a infty é pi2.

Passo 7

Lembrando que nossa integral original é o dobro disso:
integral-infty^infty 1x^2 + 1 dx = 2 times pi2 = pi

Resposta

A integral integral-infty^infty 1x^2 + 1 dx é igual a pi.

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