integral-infty^infty 1x^2+16 x+110 d x

Passo 1

A integral dada é integral-infty^infty 1x^2+tfrac16x+tfrac110,dx. O conteúdo é completar o quadrado no denominador e usar a fórmula padrão integral-infty^infty 1(x+a)^2+k^2,dx=pik.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x^2+tfrac16x+tfrac110. Primeiro identificamos b=tfrac16 e c=tfrac110, então:
x^2+tfrac16x+tfrac110 = l(x+tfracb2r)^2 + l(c-tfracb^24r)

Passo 3

Calculamos tfracb2=tfrac112 e c-tfracb^24=tfrac110-tfrac1144=tfrac67720. Logo:
x^2+tfrac16x+tfrac110 = l(x+tfrac112r)^2 + tfrac67720

Passo 4

Definindo k^2=tfrac67720 e fazendo a mudança u=x+tfrac112, a integral vira
integral-infty^infty1u^2+k^2,du

Passo 5

Pela fórmula padrão temos
integral-infty^infty1u^2+k^2,du = pik

Passo 6

Substituindo k=raiztfrac67720 obtemos
piraiztfrac67720 = piraiztfrac72067 = 12raiz5,piraiz67

Resposta

12raiz5,piraiz67

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