lim x 0 arcsin (x)x cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0arcsin(x)xcos x. O assunto é limite de função e aqui vamos usar a regra de L’Hôpital, pois é um caso do tipo 0/0.

Passo 2

Primeiro verificamos a indeterminação: ao substituir x=0 diretamente, temos arcsin(0)=0 e 0cdotcos0=0, ou seja, forma 0/0. Então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente. A derivada de arcsin(x) é 1raiz1-x^2.
Agora derivamos xcos x. Usamos o produto:
ddxl(xcos xr)=1cdotcos x + xcdot(-sin x)=cos x - xsin x
Então a aplicação da regra de L’Hôpital fica:
limxto0arcsin(x)xcos x=limxto01raiz1-x^2cos x - xsin x

Passo 4

Basta agora substituir x=0 nessa nova expressão, pois não há mais indeterminação. Temos no numerador 1/raiz1-0=1 e no denominador cos0 - 0cdotsin0=1.
Logo, o limite vale 1/1=1.

Resposta

1

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