A integral
integral0^2 pi integral0^2 integral1^2 d z d r d theta
representa o volume delimitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=2.

Passo 1

O enunciado diz que a integral
integral0^2piintegral0^2integral1^2dz,dr,dtheta
representaria o volume entre o cone z=raizx^2+y^2 e o plano z=2. O conteúdo aqui é volume em coordenadas cilíndricas, e para isso precisamos do jacobiano e dos limites corretos em r, theta e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume é
dV = r,dz,dr,dtheta
Ou seja, qualquer integral de volume deve conter esse fator r.

Passo 3

Para o volume entre o cone z=r (pois raizx^2+y^2=r) e o plano z=2, a altura z varia de z=r até z=2. Já o raio r vai de 0 até a interseção r=2, e theta de 0 a 2pi.

Passo 4

Logo, o integral que de fato dá esse volume é
integral0^2piintegral0^2integralr^2r,dz,dr,dtheta
Note que
  1. o limite inferior de z é r, não 1,
  2. aparece o fator r do jacobiano.

Resposta

A afirmação é falsa. A integral dada não representa esse volume porque falta o fator r e o limite inferior de z deveria ser r, não 1.

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