lim x 0 sen(sen x) raizx^3+x^22 x^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto0sen(sen x),raizx^3+x^22x^2,
Para resolver, vamos usar expansão em série (Taylor) de sen x e de sen(sen x), simplificar a raiz e comparar os limites laterais direito e esquerdo.

Passo 2

Observe que
raizx^3+x^2=raizx^2(x+1)=|x|raiz1+x,
Logo a função é
f(x)=sen(sen x),|x|raiz1+x2x^2

Passo 3

Usando Taylor em zero para sen x e depois para sen(cdot), temos
sen x = x - x^36+O(x^5),
logo
sen(sen x) =sen!l(x-x^36+O(x^5)r) =l(x-x^36r)-16l(x-x^36r)^3+O(x^5) =x-x^33+O(x^5)

Passo 4

Multiplicando as expansões, para x pequeno:
sen(sen x),|x|raiz1+x =l(x-tfracx^33+O(x^5)r),|x|,(1+tfracx2+O(x^2))
Isso dá
sen(sen x),|x|raiz1+x =|x|l(x+tfracx^22-tfracx^33+O(x^3)r) =|x|,x,(1+tfracx2)+O(|x|x^3)

Passo 5

Para xto0^+ temos |x|=x, então
sen(sen x),raizx^3+x^2 =x^2,(1+tfracx2)+O(x^4) Longrightarrow sen(sen x),raizx^3+x^22x^2 =1+tfracx2+O(x^2)2 to12

Passo 6

Para xto0^- temos |x|=-x, então
sen(sen x),raizx^3+x^2 =-,x^2,(1-tfracx2)+O(x^4) Longrightarrow sen(sen x),raizx^3+x^22x^2 =-l(1-tfracx2+O(x^2)r)2 to -12

Passo 7

Como o limite pela direita é tfrac12 e pela esquerda é -tfrac12, não há limite único em x=0.

Resposta

O limite não existe.

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