.
Passo 1
A integral dada é
. Estamos lidando com cálculo de volume em coordenadas cartesianas de uma região limitada pela esfera
. Para resolver de forma mais prática, vamos usar coordenadas esféricas.
Passo 2
A região descrita por
,
e
é exatamente o porção da esfera de raio
no octante onde
,
e
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas definimos:
x = ρ,\sinφ,\cosθ,
y = ρ,\sinφ,\sinθ,
z = ρ,\cosφ,
o Jacobiano é ρ^{2}\sinφ.
Para nossa região:
x = ρ,\sinφ,\cosθ,
y = ρ,\sinφ,\sinθ,
z = ρ,\cosφ,
o Jacobiano é ρ^{2}\sinφ.
Para nossa região:
-
varia de 0 a porque estamos dentro da esfera. -
varia de 0 a pois . - Ângulo
deve satisfazer e , o que dá .
Passo 4
Em esféricas a integral vira
Vamos separar:
Passo 5
Multiplicando os três resultados obtemos