integral-a^0 integral0^raiza^2-x^2 integral0^raiza^2-x^2-y^2 d z d y d x.

Passo 1

A integral dada é integral-a^0 integral0^raiza^2-x^2 integral0^raiza^2-x^2-y^2 dz,dy,dx. Estamos lidando com cálculo de volume em coordenadas cartesianas de uma região limitada pela esfera x^2+y^2+z^2=a^2. Para resolver de forma mais prática, vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

A região descrita por -a<= x<=0, 0<= y<=raiza^2-x^2 e 0<= z<=raiza^2-x^2-y^2 é exatamente o porção da esfera de raio a no octante onde x<=0, y>=0 e z>=0.

Passo 3

Em coordenadas esféricas definimos:
x = ρ,\sinφ,\cosθ,
y = ρ,\sinφ,\sinθ,
z = ρ,\cosφ,
o Jacobiano é ρ^{2}\sinφ.
Para nossa região:
  • ρ varia de 0 a a porque estamos dentro da esfera.
  • φ varia de 0 a tfracπ2 pois z=ρcosφ>=0.
  • Ângulo θ deve satisfazer x=ρsinφcosθ<=0 e y=ρsinφsinθ>=0, o que dá θin[tfracπ2,,π].

Passo 4

Em esféricas a integral vira
integralθ=π/2^π!integralφ=0^π/2!integralρ=0^a ρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ
Vamos separar:
  • integralρ=0^a ρ^2,dρ = a^33
  • integralφ=0^π/2 sinφ,dφ = 1
  • integralθ=π/2^π dθ = π2

Passo 5

Multiplicando os três resultados obtemos
a^33 times 1 times π2 = π a^36

Resposta

pi a^36

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