Mude a integral de coordenadas cartesianas para polares e calcule a integral polar.
integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para trocar a integral em cartesianas integral0^raiz2integraly^raiz4-y^2x,y,dx,dy para coordenadas polares e calcular o valor. O conteúdo envolve a mudança de variáveis usando x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano r.

Passo 2

Para descrever a região D no plano xy:
  • Está no primeiro quadrante ( y>=0 e x>=0).
  • Limitada pela reta x=y, que em polares é theta=pi/4.
  • Limitada pela circunferência x^2+y^2=4, que em polares é r=2.
Isso dá as restrições 0<=theta<=pi4, 0<= r<=2

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis e inserindo o Jacobiano, a integral fica
integral0^raiz2integraly^raiz4-y^2x,y,dx,dy =integral0^pi/4integral0^2(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pi/4integral0^2r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro, integramos em r:
integral0^2r^3,dr=2^44=4
Depois, fica
4integral0^pi/4costhetasintheta,dtheta =4cdot12integral0^pi/4sin(2theta),dtheta =2l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/4 = -l[cos(tfracpi2)-cos0r] =1

Resposta

1

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