Considere a seguinte equação diferencial:
e^x^3+sen y+x3 cos y y^prime=0
Encontre a soluçào que passa pelo ponto (0,0).

Passo 1

A equação diferencial é de primeira ordem na forma M(x,y)+N(x,y)y’=0, com M(x,y)=e{x3}+\sin y e N(x,y)=\tfrac{x}{3}\cos y. Vamos procurar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Testamos se é exata: calculamos ∂M/∂y=\cos y e ∂N/∂x=\tfrac{1}{3}\cos y. Como não coincidem, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante μ(x) dependente só de x. A condição de exatidão impõe
dmu/dxmunabla xcdot N = ∂M/∂y - ∂N/∂x
mais diretamente leva a
(μ'/μ)x3=1-tfrac13=tfrac23
Logo μ’/μ=2/x e integrando obtemos μ(x)=x^2.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^2, ficando
x^2e^x^3+x^2sin y+x^33cos y,y'=0
Agora M̃(x,y)=x2e{x3}+x2\sin y e Ñ(x,y)=\tfrac{x^3}{3}\cos y satisfazem ∂M̃/∂y=∂Ñ/∂x=x^2\cos y, ou seja, a equação é exata.

Passo 5

Construímos a função potencial Ψ(x,y) satisfazendo ∂Ψ/∂x=M̃. Integramos em x:
Ψ(x,y)=integral(x^2e^x^3+x^2sin y)dx=13e^x^3+x^33sin y+h(y)
Derivando em y e igualando a Ñ dá h’(y)=0, então h é constante. A solução implícita geral é
e^x^3+x^3sin y=C

Passo 6

Impondo a condição inicial (0,0): e^0+0\cdot\sin0=1, logo C=1. A solução particular é implícita.

Resposta

e^x^3+x^3sin y=1

Exercícios relacionados