Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a soluçào que passa pelo ponto
.
Passo 1
A equação diferencial é de primeira ordem na forma M(x,y)+N(x,y)y’=0, com M(x,y)=e{x3}+\sin y e N(x,y)=\tfrac{x}{3}\cos y. Vamos procurar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Testamos se é exata: calculamos ∂M/∂y=\cos y e ∂N/∂x=\tfrac{1}{3}\cos y. Como não coincidem, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante μ(x) dependente só de x. A condição de exatidão impõe
mais diretamente leva a
Logo μ’/μ=2/x e integrando obtemos μ(x)=x^2.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por x^2, ficando
Agora M̃(x,y)=x2e{x3}+x2\sin y e Ñ(x,y)=\tfrac{x^3}{3}\cos y satisfazem ∂M̃/∂y=∂Ñ/∂x=x^2\cos y, ou seja, a equação é exata.
Passo 5
Construímos a função potencial Ψ(x,y) satisfazendo ∂Ψ/∂x=M̃. Integramos em x:
Derivando em y e igualando a Ñ dá h’(y)=0, então h é constante. A solução implícita geral é
Passo 6
Impondo a condição inicial (0,0): e^0+0\cdot\sin0=1, logo C=1. A solução particular é implícita.