(a) integral-3^0(x^2-4 x+7) d x
(b) integral1^3 1x^2 d x
© integral4^9 2 x raizx d x
(d) integral-pi2^pi2 sen theta d theta
(e) integral-pi4^pi4 cos x d x
(f) integralln 2^3 5 e^x d x
(g) integral1^4(3raizt-5 raizt-t^-32) d t
(h) integralpi6^pi2(x+2sen^2 x) d x

Passo 1

O exercício pede o cálculo de oito integrais definidas envolvendo funções polinomiais, potências, trigonométricas e exponenciais. Para resolver vamos usar as regras básicas de antiderivação:
  • Potência: integral x^n,dx = x^n+1n+1 para n neq -1.
  • Exponencial: integral e^x,dx = e^x.
  • Trigonométricas: integral sin x,dx = -cos x e integral cos x,dx = sin x.
  • Recíprocas e cosseno: integral x^-2,dx = -x^-1 e integral csc^2 x,dx = -cot x.

Passo 2

Para (a) integramos x^2 - 4x + 7. A antiderivada é
F(x) = x^33 - 2x^2 + 7x
Avaliaremos de -3 a 0:
F(0) = 0,
F(-3) = (-3)^33 - 2(-3)^2 + 7(-3) = -9 - 18 -21 = -48
Logo
integral-3^0 (x^2 -4x +7),dx = F(0) - F(-3) = 0 - (-48) = 48

Passo 3

Para (b) integramos x^-2. A antiderivada é
G(x) = -x^-1 = -1x
Avaliaremos de 1 a 3:
integral1^3 1x^2,dx = G(3) - G(1) = l(-13r) - l(-1r) = 23

Passo 4

Para © escrevemos 2xraizx = 2x^3/2. A antiderivada é
H(x) = 2 cdot x^5/25/2 = 45 x^5/2
Avaliaremos de 4 a 9:
integral4^9 2xraizx,dx = H(9) - H(4) = 45(9^5/2 - 4^5/2) = 45(243 - 32) = 8445

Passo 5

Para (d) integramos sin theta. A antiderivada é
I(theta) = -cos theta
Avaliaremos de -tfracpi2 a tfracpi2:
integral-pi/2^pi/2 sin theta,dtheta = [-cos theta]-pi/2^pi/2 = (-0) - (-0) = 0

Passo 6

Para (e) integramos cos x. A antiderivada é
J(x) = sin x
Avaliaremos de -tfracpi4 a tfracpi4:
integral-pi/4^pi/4 cos x,dx = sinl(tfracpi4r) - sinl(-tfracpi4r) = raiz22 - l(-raiz22r) = raiz2

Passo 7

Para (f) integramos 5e^x. A antiderivada é
K(x) = 5e^x
Avaliaremos de ln 2 a 3:
integralln 2^3 5e^x,dx = 5e^3 - 5e^ln 2 = 5e^3 - 10

Passo 8

Para (g) escrevemos o integrando como
3raizt - 5raizt - t^-3/2 = 3t^-1/2 - 5t^1/2 - t^-3/2
A antiderivada é
L(t) = 3 cdot 2t^1/2 - 5 cdot 23t^3/2 + 2t^-1/2 = 6raizt - 103t^3/2 + 2t^-1/2
Avaliaremos de 1 a 4:
L(4) = 6cdot2 - 103 cdot 8 + 2 cdot 12 = 12 - 803 +1 = -413,
L(1) = 6 - 103 +2 = 143
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integral1^4 l(3raizt - 5raizt - t^-3/2r)dt = -413 - 143 = -553

Passo 9

Para (h) separamos em duas partes: integral x,dx = x^2/2 e integral 2csc^2 x,dx = -2cot x. Então a antiderivada geral é
M(x) = x^22 - 2cot x
Avaliaremos de pi/6 a pi/2:
M(pi/2) = pi^28 - 2cotl(tfracpi2r) = pi^28,
M(pi/6) = pi^272 - 2cotl(tfracpi6r) = pi^272 - 2raiz3
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integralpi/6^pi/2 l(x + 2sin^2 xr)dx = pi^28 - l(pi^272 - 2raiz3r) = pi^29 + 2raiz3

Resposta

(a) 48, (b) tfrac23, © tfrac8445, (d) 0, (e) raiz2, (f) 5e^3 - 10, (g) -tfrac553, (h) tfracpi^29 + 2raiz3.

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