Mostre que cada uma das funções não é analítica em nenhum ponto.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que as funções f(z)=sen(\overline{z}) e g(z)=cos(\overline{z}) não são analíticas em nenhum ponto. O conteúdo envolve condição de Cauchy–Riemann e derivadas de Wirtinger em funções de variável complexa. Vamos usar z=x+iy e escrever z=x-iy, depois verificar as condições de Cauchy–Riemann ou então usar diretamente partial/partialz.
Passo 2
Escrevemos f(z)=sin(z)=sin(x-iy). Usando a fórmula de sen de número complexo temos
sin(x-iy)=sin xcosh y - icos xsinh y
Então identificamos
u(x,y)=sin xcosh y, v(x,y)=-cos xsinh y
Passo 3
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann para u e v:
ux=cos xcosh y, & uy=sin xsinh y, vx=sin xsinh y,& vy=-cos xcosh y
As CR são
ux=vyiff cos xcosh y=-cos xcosh y, uy=-vxiff sin xsinh y=-sin xsinh y
Cada uma só pode ocorrer se cos xcosh y=0 e sin xsinh y=0, isto é, em pontos isolados. Logo não há aberto onde ambas se anulem simultaneamente.
Passo 4
Para g(z)=cos(z)=cos(x-iy) fazemos o mesmo: usam-se as fórmulas
cos(x-iy)=cos xcosh y + isin xsinh y,
e obtemos funções reais e imaginárias que satisfazem as CR apenas em pontos isolados também. Portanto, em nenhum ponto existe vizinhança aberta onde as CR se cumpram.
Passo 5
Alternativamente, usando derivadas de Wirtinger temos
Essas derivadas não são identicamente zero em nenhuma vizinhança aberta (só em pontos isolados), logo nenhuma das duas funções é holomorfa em qualquer ponto.
Passo 6
As duas abordagens mostram que sen(\overline{z}) e cos(\overline{z}) falham em satisfazer as condições de analiticidade em vizinhanças abertas. Portanto não são analíticas em nenhum ponto.
Resposta
sen(\overline{z}) e cos(\overline{z}) não são analíticas em nenhum ponto, pois violam as condições de Cauchy–Riemann em qualquer vizinhança aberta (só podem satisfazê-las em pontos isolados) e têm partial f/partialzneq0 em regiões abertas.