(1,5) A integral integral2^+infty sen xx^3 / 2 ln x é convergente ou divergente? Cuidado com o sinal!

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral2^+infty sin xx^3/2,ln x,dx
é convergente ou divergente. O único ponto de atenção é o comportamento no infinito, já que para x>=2 temos ln x>0 e o denominador nunca zera. Vamos usar testes de comparação para estudar a convergência absoluta.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta: examinamos
integral2^+infty|sin xx^3/2,ln x|,dx = integral2^+infty|sin x|x^3/2,ln x,dx
Como 0<=|sin x|<=1, temos a desigualdade
|sin x|x^3/2,ln x <= 1x^3/2,ln x

Passo 3

Comparar com a integral
integral2^+infty1x^3/2,ln x,dx
Sabemos que x^3/2=x^1+tfrac12 e que
integral2^+infty1x^1+tfrac12,dx =integral2^+inftyx^-3/2,dx
é convergente (pois o expoente 3/2>1). Como ln x cresce lentamente e fica no denominador, isto só torna a integral menor ainda. Logo, por comparação direta,
integral2^+infty1x^3/2,ln x,dx
converge, e portanto
integral2^+infty|sin x|x^3/2,ln x,dx
também converge.

Passo 4

Concluímos que a integral converge absolutamente. Logo, a integral original
integral2^+inftysin xx^3/2,ln x,dx
é convergente.

Resposta

A integral é convergente (na verdade, converge absolutamente).

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