A integral é convergente ou divergente? Cuidado com o sinal!
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
é convergente ou divergente. O único ponto de atenção é o comportamento no infinito, já que para temos e o denominador nunca zera. Vamos usar testes de comparação para estudar a convergência absoluta.
é convergente (pois o expoente 3/2>1). Como ln x cresce lentamente e fica no denominador, isto só torna a integral menor ainda. Logo, por comparação direta,
integral2^+infty1x^3/2,ln x,dx
converge, e portanto
integral2^+infty|sin x|x^3/2,ln x,dx
também converge.
Passo 4
Concluímos que a integral converge absolutamente. Logo, a integral original
integral2^+inftysin xx^3/2,ln x,dx
é convergente.
Resposta
A integral é convergente (na verdade, converge absolutamente).