Q 166 Dado um fio de arame de comprimento
como devemos moldá-lo, em forma de um retângulo, para que tenhamos a maior área possível? Qual a área deste retângulo?
Passo 1
O enunciado pergunta como moldar um fio de arame de comprimento
em forma de retângulo de modo a obter a maior área possível. O conteúdo aqui é otimização de área sujeita à restrição de perímetro fixo, e vamos usar álgebra (função quadrática) ou derivada para encontrar o máximo.
Passo 2
Denotemos por
e
os comprimentos dos lados do retângulo. Como o perímetro é fixo e igual a
, temos
Dessa equação, isolamos
:
Passo 3
A área do retângulo em função de
é
Essa é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de
é negativo.
Passo 4
Para achar o valor de
que maximiza
, podemos derivar e igualar a zero:
Substituindo em
, obtemos
Ou seja, o retângulo de área máxima é na verdade um quadrado de lado
.
Passo 5
A área máxima é, então,
Resposta
O arame deve formar um quadrado de lado
, e a área máxima é
.