Q 166 Dado um fio de arame de comprimento L como devemos moldá-lo, em forma de um retângulo, para que tenhamos a maior área possível? Qual a área deste retângulo?

Passo 1

O enunciado pergunta como moldar um fio de arame de comprimento ,L em forma de retângulo de modo a obter a maior área possível. O conteúdo aqui é otimização de área sujeita à restrição de perímetro fixo, e vamos usar álgebra (função quadrática) ou derivada para encontrar o máximo.

Passo 2

Denotemos por ,x e ,y os comprimentos dos lados do retângulo. Como o perímetro é fixo e igual a ,L, temos
2(x + y) = L
Dessa equação, isolamos ,y:
y = L2 - x

Passo 3

A área do retângulo em função de ,x é
A(x) = x , y = xl(L2 - xr) = L2,x - x^2
Essa é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de -x^2 é negativo.

Passo 4

Para achar o valor de ,x que maximiza ,A(x), podemos derivar e igualar a zero:
A'(x) = L2 - 2x = 0 Longrightarrow x = L4
Substituindo em y = tfracL2 - x, obtemos
y = L2 - L4 = L4
Ou seja, o retângulo de área máxima é na verdade um quadrado de lado tfracL4.

Passo 5

A área máxima é, então,
Amax = L4 times L4 = L^216

Resposta

O arame deve formar um quadrado de lado tfracL4, e a área máxima é tfracL^216.

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