(1pt) Decomponha a função racional x^2+6(x^2-2 x+5)^2 em frações parciais.

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
x^2+6l(x^2-2x+5r)^2
em frações parciais. O conteúdo é frações parciais com denominador quadrático irreduzível repetido e vamos usar o método de tentar uma soma de termos com numeradores lineares e depois igualar coeficientes.

Passo 2

Como o denominador é l(x^2-2x+5r)^2, a forma geral da decomposição é
x^2+6l(x^2-2x+5r)^2 =Ax+Bx^2-2x+5+Cx+Dl(x^2-2x+5r)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por l(x^2-2x+5r)^2 para obter a identidade polinomial
x^2+6=(Ax+B),(x^2-2x+5)+(Cx+D)

Passo 4

Primeiro expandimos:
(Ax+B)(x^2-2x+5) =Ax^3+(-2A+B)x^2+(5A-2B)x+5B,
de modo que, somando Cx+D, ficamos com
RHS =Ax^3+(-2A+B)x^2+l(5A-2B+Cr)x+(5B+D)

Passo 5

Agora igualamos os coeficientes de
Isso dá o sistema
Substituindo . Na terceira, traz . E na quarta, .

Passo 6

Substituindo A=0, B=1, C=2 e D=1 na forma geral, obtemos
x^2+6l(x^2-2x+5r)^2 =1x^2-2x+5+2x+1l(x^2-2x+5r)^2

Resposta

x^2+6l(x^2-2x+5r)^2 =1x^2-2x+5+2x+1l(x^2-2x+5r)^2

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