A integral
é independente do caminho? Calcule o valor da integral para a curva
obtida como interseção da superfície
, com
com o plano
, orientada no sentido de crescimento de
.
é independente do caminho? Calcule o valor da integral para a curva
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a forma diferencial ω=2 x e^{2y}dx + 2(x² e^{2y} + y cos z)dy – y² sin z dz é independente do caminho (ou seja, exata) e, em caso afirmativo, avaliar ∫_C ω onde C é a curva de interseção de z=9−x²−y² (com z≥5) e x=1, orientada segundo o crescimento de y. Vamos usar teoria de campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão. Se ω= P dx + Q dy + R dz, então P=2x e^{2y}, Q=2(x² e^{2y}+y cos z), R=–y² sin z. Conferimos
∂P/∂y = 4x e^{2y},
∂Q/∂x = 4x e^{2y} ⇒ coincidem.
∂P/∂z =0,
∂R/∂x =0 ⇒ coincidem.
∂Q/∂z = –2y sin z,
∂R/∂y = –2y sin z ⇒ coincidem.
∂P/∂y = 4x e^{2y},
∂Q/∂x = 4x e^{2y} ⇒ coincidem.
∂P/∂z =0,
∂R/∂x =0 ⇒ coincidem.
∂Q/∂z = –2y sin z,
∂R/∂y = –2y sin z ⇒ coincidem.
Passo 3
Como todas as coincidências de parciais são satisfeitas em região simplesmente conexa, ω é exata e existe f tal que df=ω. Agora encontramos f.
Integrar P em x:
Integrar P em x:
Passo 4
Derivar em y e igualar a Q:
Passo 5
Derivar em z e igualar a R:
Então podemos tomar sem perda de geralidade
Passo 6
A curva C está em x=1 e z=9−1−y2=8−y2, com z≥5 ⇒ 8−y^2≥5 ⇒ y∈[−√3,√3], orientada de y=−√3 a y=+√3. Os pontos extremos são
Passo 7
Como ∫_C ω = f(B) – f(A), calculamos:
Subtraindo: