A integral
integralC 2 x e^2 y d x+2(x^2 e^2 y+y cos z) d y-y^2 sen z d z
é independente do caminho? Calcule o valor da integral para a curva C obtida como interseção da superfície z=9-x^2-y^2, com z >= 5 com o plano x=1, orientada no sentido de crescimento de y.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a forma diferencial ω=2 x e^{2y}dx + 2(x² e^{2y} + y cos z)dy – y² sin z dz é independente do caminho (ou seja, exata) e, em caso afirmativo, avaliar ∫_C ω onde C é a curva de interseção de z=9−x²−y² (com z≥5) e x=1, orientada segundo o crescimento de y. Vamos usar teoria de campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão. Se ω= P dx + Q dy + R dz, então P=2x e^{2y}, Q=2(x² e^{2y}+y cos z), R=–y² sin z. Conferimos
∂P/∂y = 4x e^{2y},
∂Q/∂x = 4x e^{2y} ⇒ coincidem.
∂P/∂z =0,
∂R/∂x =0 ⇒ coincidem.
∂Q/∂z = –2y sin z,
∂R/∂y = –2y sin z ⇒ coincidem.

Passo 3

Como todas as coincidências de parciais são satisfeitas em região simplesmente conexa, ω é exata e existe f tal que df=ω. Agora encontramos f.
Integrar P em x:
f(x,y,z)=integral 2x e^2ydx = x^2 e^2y + h(y,z)

Passo 4

Derivar em y e igualar a Q:
∂f∂y=2x^2 e^2y + hy(y,z)=2(x^2 e^2y+y cos z) ⇒ h_y(y,z)=2y cos z. Logo
h(y,z)=y^2 cos z + g(z)

Passo 5

Derivar em z e igualar a R:
∂f∂z=-y^2 sin z + g'(z)=R=-y^2 sin z ⇒ g’(z)=0 ⇒ g é constante.
Então podemos tomar sem perda de geralidade
f(x,y,z)=x^2 e^2y + y^2 cos z

Passo 6

A curva C está em x=1 e z=9−1−y2=8−y2, com z≥5 ⇒ 8−y^2≥5 ⇒ y∈[−√3,√3], orientada de y=−√3 a y=+√3. Os pontos extremos são
A=(1, -raiz3,5), B=(1,raiz3,5)

Passo 7

Como ∫_C ω = f(B) – f(A), calculamos:
f(B)=1^2 e^2raiz3 + (raiz3)^2 cos5 = e^2raiz3 + 3cos5,
f(A)=e^-2raiz3 + 3cos5
Subtraindo:
integralC ω = (e^2raiz3+3cos5) (e^-2raiz3+3cos5)=e^2raiz3 e^-2raiz3

Resposta

e^2raiz3 - e^-2raiz3

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