Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
y^prime=3 yx, Phi(x)=c x^3.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO y'=3yx e propõe a função Phi(x)=cx^3. Precisamos escolher um intervalo aberto I sem o ponto x=0 (onde a EDO é singular) e mostrar que Phi satisfaz a EDO em I.

Passo 2

Como o denominador x não pode ser zero, uma escolha natural é um intervalo que não contenha zero. Por exemplo, podemos tomar I=(0,infty) (ou, de modo análogo, I=(-infty,0)).

Passo 3

Vamos calcular a derivada de Phi. Em bloco:
Phi'(x)=ddx(cx^3)=3c x^2

Passo 4

Agora substituímos na EDO. O lado direito é
3,Phi(x)x=3,(cx^3)x=3c x^2
Como Phi'(x)=3c x^2 coincide com 3Phi(x)/x=3c x^2, concluímos que Phi(x)=cx^3 é solução da EDO em I.

Resposta

Um intervalo aberto apropriado é I=(0,infty), e verifica-se que Phi(x)=cx^3 satisfaz a EDO em I.

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