Seja F(x, y, z)=(y z+x^2, x z+3 y^2, x y).
Mostre que integralC F cdot d r é independente do caminho.

Passo 1

Temos o campo vec F(x,y,z)=(P,Q,R) com P=yz+x^2, Q=xz+3y^2 e R=xy. Queremos mostrar que a integral de linha
integralCvec Fcdot dvec r
é independente do caminho. Como o domínio é R^3, que é simplesmente conectado, basta verificar se nablatimesvec F=0, pois isso garante que vec F é conservativo.

Passo 2

Para calcular o rotacional, lembramos que
nablatimesvec F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 3

Agora vamos calcular cada termo:
  • partial Rpartial y=partial(xy)partial y=x e partial Qpartial z=partial(xz+3y^2)partial z=x, logo a primeira componente é x-x=0.
  • partial Ppartial z=partial(yz+x^2)partial z=y e partial Rpartial x=partial(xy)partial x=y, logo a segunda componente é y-y=0.
  • partial Qpartial x=partial(xz+3y^2)partial x=z e partial Ppartial y=partial(yz+x^2)partial y=z, logo a terceira componente é z-z=0.
    Portanto
nablatimesvec F=(0,0,0)

Passo 4

Como o rotacional de vec F é nulo em R^3, concluímos que vec F é um campo conservativo. Dessa forma, a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r independe do caminho escolhido.

Resposta

O campo vec F é conservativo e, portanto, integralCvec Fcdot dvec r independe do caminho.

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