Seja
.
Mostre que
é independente do caminho.
Mostre que
Passo 1
Temos o campo
com
,
e
. Queremos mostrar que a integral de linha
é independente do caminho. Como o domínio é
, que é simplesmente conectado, basta verificar se
, pois isso garante que
é conservativo.
Passo 2
Para calcular o rotacional, lembramos que
Passo 3
Agora vamos calcular cada termo:
-
e , logo a primeira componente é . -
e , logo a segunda componente é . -
e , logo a terceira componente é .
Portanto
Passo 4
Como o rotacional de
é nulo em
, concluímos que
é um campo conservativo. Dessa forma, a integral de linha
independe do caminho escolhido.
Resposta
O campo
é conservativo e, portanto,
independe do caminho.