A integral integralegral triplaW f(x, y, z) d V, onde W é sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2 x+2 y+z=2 pode ser escrita como:
integral0^1 integral0^1-y integral0^2-2 x-2 y f(x, y, z) d z d x d y

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sólido W no primeiro octante limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e pela face 2x+2y+z=2. Queremos escrever a integral tripla integral triplaW f(x,y,z),dV como um iterado.

Passo 2

Encontrando os limites de z: da equação do plano oblíquo 2x+2y+z=2 isolamos z e obtemos z=2-2x-2y. Como estamos no primeiro octante, 0<= z<= 2-2x-2y.

Passo 3

Projetando W no plano xy: fazemos z=0 na face para achar a projeção D em xy. Assim 2x+2y=2 dá x+y=1, no primeiro quadrante. Logo D é o triângulo definido por x>=0,;y>=0,;x+y<=1. Para um y fixo, x varia de 0 até 1-y, e y varia de 0 a 1.

Passo 4

Combinando os três limites, a integral fica um iterado em (z,x,y) com z de 0 a 2−2x−2y, x de 0 a 1−y e y de 0 a 1.

Resposta

integraly=0^1 integralx=0^1-y integralz=0^2-2x-2y f(x,y,z) ,dz,dx,dy

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