Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Observação: e são constantes.

Passo 1

Neste exercício, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea y' - 2y = e^3x e uma função candidata y(x) = e^3x + 10 e^2x. Vamos precisar diferenciar y e depois substituir na equação para verificar se ela é satisfeita.

Passo 2

Diferenciamos a função: temos y(x) = e^3x + 10 e^2x, então y' = ddx(e^3x) + 10 ddx(e^2x). Usando a regra da cadeia, ddx(e^ax) = a e^ax. Logo,
$$y’ = 3 e^{3x} + 10 \cdot 2 e^{2x} = 3 e^{3x} + 20 e^{2x}.
$$

Passo 3

Substituímos y e y' na equação y' - 2y:
$$y’ - 2y = (3 e^{3x} + 20 e^{2x}) - 2\bigl(e^{3x} + 10 e^{2x}\bigr).
$$

Passo 4

Desenvolvendo, obtemos
$$y

Resposta

Sim, a função dada é solução da equação diferencial, pois ao diferenciar e substituir obtemos y' - 2y = e^3x.

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