A integral
integralQ 43 x+32 y1+8 x+6 y d x wed>= d y
sobre o quadrilátero Q de vértices
(0,0) (6,-8) (-192,258) (-186,250)
é da forma ln (N) para algum inteiro N. Determine N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
integralQ 43 x + 32 y1 + 8 x + 6 y , dx wed>= dy
sobre o quadrilátero $ Q $ com vértices em $ (0,0) $, $ (6,-8) $, $ (-192,258) $ e $ (-186,250) $. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre áreas geométricas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a área do quadrilátero e encontrar uma maneira de simplificar a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os vértices do quadrilátero $ Q $. Observando os pontos $ (0,0) $, $ (6,-8) $, $ (-192,258) $ e $ (-186,250) $, percebemos que eles formam um paralelogramo porque os lados opostos são iguais. Isso simplifica as coisas, pois podemos parametrizar a área usando dois vetores que definem o paralelogramo.

Passo 3

Vamos definir dois vetores que partem da origem $ (0,0) $ para os outros vértices:
(0,0)
Com esses vetores, podemos parametrizar qualquer ponto $ (x,y) $ dentro do paralelogramo $ Q $ usando parâmetros $ s $ e $ t $ variando de 0 a 1:
u = (6, -8) e v = (-192, 258)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis da integral. O jacobiano $ J $ é dado por:
J
Então, $ dx \wedge dy = |J| , ds , dt = 12 , ds , dt $.

Passo 5

Substituindo $ x $ e $ y $ em termos de $ s $ e $ t $ na função que estamos integrando:
x
Simplificando o numerador e o denominador:
y
Portanto, a função simplifica para:
s

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:
integral0^1 integral0^1 2s1 + 12t times 12 , ds , dt = 24 integral0^1 integral0^1 s1 + 12t , ds , dt
Vamos primeiro integrar em relação a $ s $:
s
Então, a integral fica:
integral0^1 s , ds = [ s^22 ]0^1 = 12

Passo 7

Para integrar $ \frac{1}{1 + 12t} $ em relação a $ t $, fazemos a substituição $ u = 1 + 12t $, então $ du = 12 , dt $, ou seja, $ dt = \frac{du}{12} $. Quando $ t = 0 $, $ u = 1 $; quando $ t = 1 $, $ u = 13 $.
A integral fica:
11 + 12t

Resposta

O valor de $ N $ é $ 13 $.

Exercícios relacionados