A integral
sobre o quadrilátero
de vértices
é da forma
para algum inteiro
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
sobre o quadrilátero $ Q $ com vértices em $ (0,0) $, $ (6,-8) $, $ (-192,258) $ e $ (-186,250) $. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre áreas geométricas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a área do quadrilátero e encontrar uma maneira de simplificar a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os vértices do quadrilátero $ Q $. Observando os pontos $ (0,0) $, $ (6,-8) $, $ (-192,258) $ e $ (-186,250) $, percebemos que eles formam um paralelogramo porque os lados opostos são iguais. Isso simplifica as coisas, pois podemos parametrizar a área usando dois vetores que definem o paralelogramo.
Passo 3
Vamos definir dois vetores que partem da origem $ (0,0) $ para os outros vértices:
Com esses vetores, podemos parametrizar qualquer ponto $ (x,y) $ dentro do paralelogramo $ Q $ usando parâmetros $ s $ e $ t $ variando de 0 a 1:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis da integral. O jacobiano $ J $ é dado por:
Então, $ dx \wedge dy = |J| , ds , dt = 12 , ds , dt $.
Passo 5
Substituindo $ x $ e $ y $ em termos de $ s $ e $ t $ na função que estamos integrando:
Simplificando o numerador e o denominador:
Portanto, a função simplifica para:
Passo 6
Agora, a integral dupla fica:
Vamos primeiro integrar em relação a $ s $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para integrar $ \frac{1}{1 + 12t} $ em relação a $ t $, fazemos a substituição $ u = 1 + 12t $, então $ du = 12 , dt $, ou seja, $ dt = \frac{du}{12} $. Quando $ t = 0 $, $ u = 1 $; quando $ t = 1 $, $ u = 13 $.
A integral fica:
Resposta
O valor de $ N $ é $ 13 $.