(Integral de Linha) Calcule a integral de linha de \vec{F}(x, y)=\left(y^{2}, x\right) no longo da curva C que é o arco da parabola y=x^{2} de (0,0) até (1,1). Oriente a curva no sentido crescente de x,(1,25 pt)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dada a campo vetorial \vec{F}(x,y)=\left(y^{2},x\right).
  • A curva C é o arco da parábola y=x^{2} que vai do ponto (0,0) até o ponto (1,1).
  • A orientação da curva é no sentido crescente de x (ou seja, da esquerda para a direita).
  • O que se pede: calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Estas são todas as informações relevantes do enunciado.

Passo 2

Vamos usar a definição prática de integral de linha para um campo vetorial: se uma curva C é dada por uma parametrização \vec{r}(t), t\in[a,b], então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui \vec{r}(t) representa as coordenadas (x(t),y(t)) ao longo da curva, \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente, e o produto escalar \cdot significa multiplicar componente a componente e somar. Não tem mistério: parametrizamos, substituímos, fazemos o produto escalar e integramos.

Passo 3

Escolhemos uma parametrização natural da parábola usando x como parâmetro (porque a orientação é crescente em x). Seja t o parâmetro:
\vec{r}(t)=(x(t),y(t))=(t,t^{2}),\qquad t\in[0,1].
Justificativa: quando t=0 obtemos (0,0) e quando t=1 obtemos (1,1), e t aumenta com x, então a orientação está correta.
A derivada da parametrização é
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,2t\bigr).

Passo 4

Agora calculamos \vec{F}(\vec{r}(t)) substituindo x=t e y=t^{2} em \vec{F}(x,y):
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl((t^{2})^{2},\,t\bigr)=\bigl(t^{4},\,t\bigr).

Passo 5

Fazemos o produto escalar componente a componente entre \vec{F}(\vec{r}(t)) e \vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=\bigl(t^{4},t\bigr)\cdot\bigl(1,2t\bigr)=t^{4}\cdot 1 + t\cdot(2t)=t^{4}+2t^{2}.
Explicando: produto escalar de (a,b) com (c,d) é ac+bd.

Passo 6

Montamos a integral de linha usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\bigl(t^{4}+2t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 7

Integramos termo a termo. As primitivas são
\int t^{4}\,dt=\frac{t^{5}}{5},\qquad \int 2t^{2}\,dt=2\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{2t^{3}}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(t^{4}+2t^{2}\bigr)\,dt=\left[\frac{t^{5}}{5}+\frac{2t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}+\frac{2}{3}.

Passo 8

Calculamos a soma final com denominador comum:
\frac{1}{5}+\frac{2}{3}=\frac{3}{15}+\frac{10}{15}=\frac{13}{15}.
Boa! Esse é o valor da integral de linha pedida.

Resposta

\dfrac{13}{15}

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