(Integral de Linha) Calcule a integral de linha de
no longo da curva
que é o arco da parabola
de
até
. Oriente a curva no sentido crescente de
pt)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Dada a campo vetorial
. - A curva
é o arco da parábola que vai do ponto até o ponto . - A orientação da curva é no sentido crescente de
(ou seja, da esquerda para a direita). - O que se pede: calcular a integral de linha
Estas são todas as informações relevantes do enunciado.
Passo 2
Vamos usar a definição prática de integral de linha para um campo vetorial: se uma curva
é dada por uma parametrização
,
, então
Aqui
representa as coordenadas
ao longo da curva,
é a derivada componente a componente, e o produto escalar
significa multiplicar componente a componente e somar. Não tem mistério: parametrizamos, substituímos, fazemos o produto escalar e integramos.
Passo 3
Escolhemos uma parametrização natural da parábola usando
como parâmetro (porque a orientação é crescente em
). Seja
o parâmetro:
Justificativa: quando
obtemos
e quando
obtemos
, e
aumenta com
, então a orientação está correta.
A derivada da parametrização é
Passo 4
Agora calculamos
substituindo
e
em
:
Passo 5
Fazemos o produto escalar componente a componente entre
e
:
Explicando: produto escalar de
com
é
.
Passo 6
Montamos a integral de linha usando a fórmula do Passo 2:
Passo 7
Integramos termo a termo. As primitivas são
Portanto
Passo 8
Calculamos a soma final com denominador comum:
Boa! Esse é o valor da integral de linha pedida.