(Rotacional e Divergente) Seja o campo vetorial
, Calcule o divergente e o rotacional de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Calcular o divergente de
. - Calcular o rotacional (curl) de
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
tem três componentes, sendo a componente
igual a
, a componente
igual a
e a componente
igual a
.
Passo 2
Vamos lembrar o que são divergente e rotacional (aula rápida, calma — vou mastigar tudo).
Divergente: é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas coordenadas correspondentes. Formalmente,
onde
,
,
são as componentes do campo nos eixos
respectivamente. Aqui cada derivada parcial significa: derivar aquela componente considerando as outras variáveis como constantes.
Rotacional (curl): é o vetor dado por
. Uma forma prática de lembrar é usar a expressão componente a componente:
Essa fórmula vem do produto vetorial
, mas aqui usamos direto a versão componente por componente — é a mais usada em prova.
Passo 3
Agora aplicamos a definição do divergente ao nosso campo. Primeiro identifique as componentes:
Calcule cada derivada parcial uma a uma, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
Passo 4
Derivadas parciais para o divergente:
porque
é constante e
.
pois
é constante em relação a
e
.
pois
é constante e
.
Passo 5
Somando as três derivadas parciais obtemos o divergente:
Podemos, se quiser, reordenar os termos como
. É isso — interpretações físicas: esse resultado mede a “taxa local de saída” do campo.
Passo 6
Agora calculamos o rotacional usando a fórmula componente a componente. Vou calcular cada componente separadamente.
Lembrete das componentes usadas:
Passo 7
Calcule a primeira componente do rotacional:
Agora as derivadas:
porque
não depende de
.
Logo
Passo 8
Segunda componente do rotacional:
As derivadas:
pois
não depende de
.
pois
é constante em relação a
e
.
Logo
Logo
Passo 9
Terceira componente do rotacional:
As derivadas:
pois não há
na expressão.
Logo
Passo 10
Reunindo as três componentes obtemos o rotacional completo: