(Rotacional e Divergente) Seja o campo vetorial F^{f}(x, y, z)=\left(x^{2} y, y z^{2}, z^{2} x\right), Calcule o divergente e o rotacional de \vec{F} .(1.5 \mathrm{pt})

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2}y,\;y z^{2},\;z^{2}x\right) e pede duas coisas:
  1. Calcular o divergente de \vec{F}.
  2. Calcular o rotacional (curl) de \vec{F}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\vec{F} tem três componentes, sendo a componente x igual a x^{2}y, a componente y igual a y z^{2} e a componente z igual a z^{2}x.

Passo 2

Vamos lembrar o que são divergente e rotacional (aula rápida, calma — vou mastigar tudo).
Divergente: é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas coordenadas correspondentes. Formalmente,
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z},
onde F_x, F_y, F_z são as componentes do campo nos eixos x,y,z respectivamente. Aqui cada derivada parcial significa: derivar aquela componente considerando as outras variáveis como constantes.
Rotacional (curl): é o vetor dado por \nabla\times\vec{F}. Uma forma prática de lembrar é usar a expressão componente a componente:
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\;\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\;\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big).
Essa fórmula vem do produto vetorial \nabla\times\vec{F}, mas aqui usamos direto a versão componente por componente — é a mais usada em prova.

Passo 3

Agora aplicamos a definição do divergente ao nosso campo. Primeiro identifique as componentes:
F_x(x,y,z)=x^{2}y,\qquad F_y(x,y,z)=y z^{2},\qquad F_z(x,y,z)=z^{2}x.
Calcule cada derivada parcial uma a uma, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.

Passo 4

Derivadas parciais para o divergente:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=2x\,y,
porque y é constante e \frac{d}{dx}x^{2}=2x.
\frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y z^{2}\big)=z^{2},
pois z^{2} é constante em relação a y e \frac{d}{dy}y=1.
\frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(z^{2}x\big)=2z\,x,
pois x é constante e \frac{d}{dz}z^{2}=2z.

Passo 5

Somando as três derivadas parciais obtemos o divergente:
\operatorname{div}\vec{F}=2x y + z^{2} + 2z x.
Podemos, se quiser, reordenar os termos como \operatorname{div}\vec{F}=2xy+2xz+z^{2}. É isso — interpretações físicas: esse resultado mede a “taxa local de saída” do campo.

Passo 6

Agora calculamos o rotacional usando a fórmula componente a componente. Vou calcular cada componente separadamente.
Lembrete das componentes usadas:
F_x=x^{2}y,\qquad F_y=y z^{2},\qquad F_z=z^{2}x.

Passo 7

Calcule a primeira componente do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}.
Agora as derivadas:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(z^{2}x\big)=0,
porque z^{2}x não depende de y.
\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(y z^{2}\big)=y\cdot 2z=2yz.
Logo
(\nabla\times\vec{F})_x=0-2yz=-2yz.

Passo 8

Segunda componente do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}.
As derivadas:
\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}y\big)=0,
pois x^{2}y não depende de z.
\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{2}x\big)=z^{2},
pois z^{2} é constante em relação a x e \frac{d}{dx}x=1.
Logo
(\nabla\times\vec{F})_y=0-z^{2}=-z^{2}.

Passo 9

Terceira componente do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.
As derivadas:
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y z^{2}\big)=0,
pois não há x na expressão.
\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}.
Logo
(\nabla\times\vec{F})_z=0-x^{2}=-x^{2}.

Passo 10

Reunindo as três componentes obtemos o rotacional completo:
\nabla\times\vec{F}=(-2yz,\;-z^{2},\;-x^{2}).

Resposta

\operatorname{div}\vec{F}=2xy+z^{2}+2xz
\nabla\times\vec{F}=(-2yz,\,-z^{2},\,-x^{2})

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