(Área de superficie parametrizada) Considere a superficie S parametrizada por \vec{r}(u, v)= (u, v, u v), com (u, v) variando no quadrado [0,1] \times[0,1]. Expresse a área da superficie S como uma integral iterada (não precisa calcular).(1 pt)
Passo 1
O enunciado pede: expressar a área da superfície S parametrizada por \vec{r}(u,v)=(u,v,uv), com (u,v) variando no quadrado [0,1]\times[0,1], como uma integral iterada.
Informações dadas que vamos usar:
A parametrização \vec{r}(u,v)=(u,v,uv).
O domínio dos parâmetros é o quadrado [0,1]\times[0,1].
A tarefa é só montar a integral que representa a área (não é preciso calcular o valor).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação curta e intuitiva): para uma superfície parametrizada por \vec{r}(u,v) sobre um domínio D no plano uv, o elemento de área da superfície é dado por \|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\|\,dA. Aqui \vec{r}_u e \vec{r}_v são derivadas parciais e o módulo do produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v representa a área do paralelogramo formado pelos vetores tangentes — é a “escala” que transforma uma pequena área em uv-plano para a pequena área na superfície. Portanto a área total é
Explicação: o módulo de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aqui a=-v, b=-u, c=1.
Passo 6
Montar a integral dupla sobre o domínio D=[0,1]\times[0,1]. Como o enunciado pediu uma integral iterada, podemos escrever em qualquer ordem; por exemplo integrando primeiro em u e depois em v: