(Área de superficie parametrizada) Considere a superficie S parametrizada por \vec{r}(u, v)= (u, v, u v), com (u, v) variando no quadrado [0,1] \times[0,1]. Expresse a área da superficie S como uma integral iterada (não precisa calcular).(1 pt)

Passo 1

O enunciado pede: expressar a área da superfície S parametrizada por \vec{r}(u,v)=(u,v,uv), com (u,v) variando no quadrado [0,1]\times[0,1], como uma integral iterada.
Informações dadas que vamos usar:
  • A parametrização \vec{r}(u,v)=(u,v,uv).
  • O domínio dos parâmetros é o quadrado [0,1]\times[0,1].
    A tarefa é só montar a integral que representa a área (não é preciso calcular o valor).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação curta e intuitiva): para uma superfície parametrizada por \vec{r}(u,v) sobre um domínio D no plano uv, o elemento de área da superfície é dado por \|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\|\,dA. Aqui \vec{r}_u e \vec{r}_v são derivadas parciais e o módulo do produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v representa a área do paralelogramo formado pelos vetores tangentes — é a “escala” que transforma uma pequena área em uv-plano para a pequena área na superfície. Portanto a área total é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\|\,dA.Á

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \vec{r}. Derivando componente a componente:
\vec{r}(u,v)=(u,\,v,\,uv),
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\vec{r}_u=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(1,\,0,\,v), \qquad \vec{r}_v=\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(0,\,1,\,u).
Explanação: \vec{r}_u é a derivada quando variamos u mantendo v fixo; derivadas das componentes u\mapsto u é 1, v\mapsto v é 0, uv\mapsto v.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v. Usando a fórmula determinante,
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 0 & v\\[4pt] 0 & 1 & u \end{vmatrix} = (-v,\,-u,\,1).
Explicação passo a passo: componente \mathbf{i} é 0\cdot u - v\cdot 1 = -v; componente \mathbf{j} é v\cdot 0 - 1\cdot u = -u; componente \mathbf{k} é 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1.]

Passo 5

Calcular o módulo do produto vetorial, que é o integrando da área:
\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\|=\sqrt{(-v)^2+(-u)^2+1^2}=\sqrt{1+u^2+v^2}.
Explicação: o módulo de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aqui a=-v, b=-u, c=1.

Passo 6

Montar a integral dupla sobre o domínio D=[0,1]\times[0,1]. Como o enunciado pediu uma integral iterada, podemos escrever em qualquer ordem; por exemplo integrando primeiro em u e depois em v:
\text{Área}(S)=\int_{v=0}^{1}\int_{u=0}^{1}\sqrt{1+u^2+v^2}\,du\,dv.Á
Isso é uma integral iterada equivalente à integral dupla sobre o quadrado. (Não vamos calcular o valor, conforme pedido.)

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^{2}+v^{2}}\,du\,dv

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