Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}, 2 x y\right) ao longo da circunferência de raio 2 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral de linha do campo \mathbf{F}(x,y) = (x^2 - y^2,\;2xy) ao longo da circunferência de raio 2, orientada positivamente. Esse tipo de integral em curva fechada pode ser simplificado aplicando o Teorema de Green.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma região D no plano com fronteira C positivamente orientada e funções P,Q suficientemente suaves,
\oint_C P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_D \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui temos P(x,y)=x^2 - y^2, Q(x,y)=2xy e D é o disco \{(x,y)\mid x^2+y^2\le4\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) = -2y.
Assim,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2y - (-2y) = 4y.

Passo 4

Substituindo no lado direito do Teorema de Green, vem
\iint_D 4y\,dA.
Como a função 4y é ímpar em y e o disco D é simétrico em relação ao eixo x, o valor dessa integral dupla é 0.

Resposta

0

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