Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=\left(x y, y^{2}\right) ao longo do triângulo (0,0),(1,0),(1,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha fechada do campo \mathbf{F}(x,y) = (x y,\,y^2) ao longo do triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1), orientado positivamente (sentido anti-horário). Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que diz que
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=x y e Q(x,y)=y^2, e D é a região triangular interna ao caminho C.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x y)}{\partial y} = x.
Logo, o integrando no Teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 0 - x = -x.

Passo 3

A região D é o triângulo descrito por 0 \le x \le 1 e 0 \le y \le x. Assim,
\iint_{D}(-x)\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}(-x)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\Bigl[-x\,y\Bigr]_{y=0}^{y=x}\,dx = \int_{0}^{1}(-x\cdot x)\,dx = \int_{0}^{1}(-x^2)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{3}.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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