Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=(y,-x) ao longo do círculo unitário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de \mathbf{F}(x,y) = (y,\,-x) ao longo do círculo unitário C (orientado positivamente). O conteúdo principal aqui é integral de linha de campos vetoriais em plano e o uso do Teorema de Green para curvas fechadas.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=y e Q(x,y)=-x de modo que
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=P\,dx+Q\,dy.
Como C é uma curva fechada simples que contorna a região D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}, podemos aplicar o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial(-x)}{\partial x}=-1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial(y)}{\partial y}=1.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-1-1=-2.

Passo 4

Substituindo no integral de área,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}(-2)\,dA =-2\iint_{D}1\,dA.
Como a área de D é \pi, temos
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-2\cdot\pi=-2\pi.

Resposta

-2\pi

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