Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=(y,-x) ao longo do círculo de raio 3 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F}(x,y) = (P,Q) = (y,\,-x)
ao longo do círculo C de raio 3 centrado na origem, assumindo orientação positiva (anti-horária).
O conceito principal é que, para um campo \mathbf{F}=(P,Q), a integral de linha é
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\oint_C \bigl(P\,dx + Q\,dy\bigr),
e podemos resolvê-la por parametrização de C.

Passo 2

Parametrizamos o círculo C por
x(t)=3\cos t,\quad y(t)=3\sin t, \quad 0\le t\le 2\pi.
Dessa forma,
dx = -3\sin t\,dt, \quad dy = 3\cos t\,dt.

Passo 3

Em função de t, temos
P(x(t),y(t))=y(t)=3\sin t, \quad Q(x(t),y(t))=-x(t)=-3\cos t.
Portanto o integrando fica
P\,dx + Q\,dy = \bigl(3\sin t\bigr)\bigl(-3\sin t\,dt\bigr) + \bigl(-3\cos t\bigr)\bigl(3\cos t\,dt\bigr) = \bigl(-9\sin^2 t -9\cos^2 t\bigr)\,dt.

Passo 4

Como \sin^2 t+\cos^2 t=1,
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} \bigl(-9(\sin^2 t+\cos^2 t)\bigr)\,dt = -9\int_{0}^{2\pi}1\,dt = -9\cdot(2\pi) = -18\pi.

Resposta

-18\pi

Exercícios relacionados