Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=(y,-x) ao longo do círculo de raio 3 .

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=(y,-x) ao longo do círculo de raio 3, orientado no sentido anti-horário. O assunto é “integrais de linha de campos vetoriais” e, para resolver, vamos parametrizar a curva.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio 3 centrado na origem por
\mathbf{r}(t) = \bigl(3\cos t,\;3\sin t\bigr),
com t variando de 0 a 2\pi. Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário.

Passo 3

Calculamos o vetor tangente \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-3\sin t,\;3\cos t\bigr)\,.

Passo 4

Substituímos na integral \displaystyle\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt. Primeiro,
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) = \bigl(3\sin t,\;-3\cos t\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t) = (3\sin t)(-3\sin t)+(-3\cos t)(3\cos t) = -9\bigl(\sin^2 t+\cos^2 t\bigr) = -9.

Passo 5

Agora integramos de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} -9\,dt = -9\bigl[\,t\,\bigr]_{0}^{2\pi} = -9\cdot 2\pi = -18\pi.

Resposta

-18\pi

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