Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=(x y, y) ao longo do triângulo (0,0),(1,0),(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada do campo \mathbf{F}(x,y)=(xy,y) ao longo do contorno do triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região triangular.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma curva C simples, fechada e positivamente orientada, e funções P e Q com derivadas contínuas, vale
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui identificamos P(x,y)=xy e Q(x,y)=y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (y)}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (xy)}{\partial y} = x.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0 - x = -x.

Passo 4

A região D é o triângulo
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
A integral dupla fica
\iint_{D}(-x)\,dA = -\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}x\,dy\,dx.

Passo 5

Integramos primeiro em y:
\int_{y=0}^{1-x}x\,dy = x\,(1-x).
Depois em x:
-\int_{0}^{1}x(1-x)\,dx = -\bigl[\tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\bigr]_{0}^{1} = -\Bigl(\tfrac12 - \tfrac13\Bigr) = -\tfrac16.

Resposta

-\tfrac16

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