integral-1^1 f(x) d x=w(f(x1)+f(-x1))+(1-w)(f(x2)+f(-x2)),
onde w=0.347855, x1=0.861136 e x2=0.339981. Esta fórmula é exata (a menos de erros de arredondamento) para polinômios de grau até 7. Verifique este fato integrando: integral0^1 x^5 d x (sim, use uma mudança de variáveis!). Use a fórmula também para avaliar integral1^2(1 / x) d x e determine o erro efetivamente cometido.

Passo 1

Temos a regra de quadratura simétrica em [−1,1]:
integral-1^1 f(x),dx = wl(f(x1)+f(-x1)r) + (1-w)l(f(x2)+f(-x2)r),
com w=0.347855, x_1=0.861136, x_2=0.339981, exata para polinômios até grau 7. Vamos (i) verificar ∫₀¹ x⁵ dx por mudança de variável e (ii) aproximar ∫₁² 1/x dx e calcular o erro.

Passo 2

Para ∫₀¹ x⁵ dx usamos a mudança de variável
x = t+12, dx = dt2
Assim
integral0^1 x^5,dx = 12 integral-1^1 l(t+12r)^5,dt
Definimos g(t)=((t+1)/2)^5 e aplicamos a regra de quadratura ao integral em t com o fator 1/2.

Passo 3

Substituindo t=±x_1 e t=±x_2 em g(t) e usando os pesos w e 1−w, obtemos
12l[wl(g(x1)+g(-x1)r)+(1-w)l(g(x2)+g(-x2)r)r]approx0.166667
Isso coincide com 1/6, confirmando a exatidão da regra para x⁵.

Passo 4

Para ∫₁² 1/x dx fazemos a mudança
x = 1.5 + 0.5t, dx = 0.5,dt
Logo
integral1^2 1x,dx = 12 integral-1^1 11.5+0.5t,dt
Definimos h(t)=1/(1.5+0.5t) e aplicamos a mesma regra.

Passo 5

Aplicando a quadratura ao integral de h(t), calculamos
12l[wl(h(x1)+h(-x1)r)+(1-w)l(h(x2)+h(-x2)r)r]approx0.693645
O valor exato é ln2≈0.693147, então o erro é aproximadamente 4.98×10⁻⁴.

Resposta

Para ∫₀¹ x⁵ dx a fórmula retorna exatamente 1/6 e para ∫₁² 1/x dx a aproximação é 0.693645, com erro ≈4.98×10⁻⁴.

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