onde
e
. Esta fórmula é exata (a menos de erros de arredondamento) para polinômios de grau até 7. Verifique este fato integrando:
(sim, use uma mudança de variáveis!). Use a fórmula também para avaliar
e determine o erro efetivamente cometido.
Passo 1
Temos a regra de quadratura simétrica em [−1,1]:
com w=0.347855, x_1=0.861136, x_2=0.339981, exata para polinômios até grau 7. Vamos (i) verificar ∫₀¹ x⁵ dx por mudança de variável e (ii) aproximar ∫₁² 1/x dx e calcular o erro.
Passo 2
Para ∫₀¹ x⁵ dx usamos a mudança de variável
Assim
Definimos g(t)=((t+1)/2)^5 e aplicamos a regra de quadratura ao integral em t com o fator 1/2.
Passo 3
Substituindo t=±x_1 e t=±x_2 em g(t) e usando os pesos w e 1−w, obtemos
Isso coincide com 1/6, confirmando a exatidão da regra para x⁵.
Passo 4
Para ∫₁² 1/x dx fazemos a mudança
Logo
Definimos h(t)=1/(1.5+0.5t) e aplicamos a mesma regra.
Passo 5
Aplicando a quadratura ao integral de h(t), calculamos
O valor exato é ln2≈0.693147, então o erro é aproximadamente 4.98×10⁻⁴.
Resposta
Para ∫₀¹ x⁵ dx a fórmula retorna exatamente 1/6 e para ∫₁² 1/x dx a aproximação é 0.693645, com erro ≈4.98×10⁻⁴.