1. integral raiz-2 x-x^2 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral raiz-2x - x^2,dx. O assunto aqui é integração de raízes de expressões quadráticas, e vamos precisar completar o quadrado para transformar a expressão dentro da raiz num formato a^2 - u^2 e depois usar a integral padrão de raiza^2 - u^2.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em -2x - x^2:
-2x - x^2 = -(x^2 + 2x) = -l((x+1)^2 - 1r) = 1 - (x+1)^2
Assim, raiz-2x - x^2 = raiz1 - (x+1)^2.

Passo 3

Fazemos a substituição u = x + 1. Então du = dx e a integral vira
integral raiz1 - (x+1)^2,dx = integral raiz1 - u^2,du

Passo 4

Usamos a fórmula padrão
integral raiza^2 - u^2,du = u2 raiza^2 - u^2 + a^22 arcsinl(uar) + C
com a = 1. Assim,
integral raiz1 - u^2,du = u2raiz1 - u^2 + 12arcsin(u) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u = x + 1. A resposta fica:
x+12 raiz1 - (x+1)^2 + 12 arcsin(x+1) + C

Resposta

\frac{x+1}{2} \sqrt{1 - (x+1)^2} + \frac{1}{2} \arcsin(x+1) + C

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