1. integral(t raizt+5)^10 raizt d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral (traiz t + 5)^10 raiz t,dt. O conteúdo envolve integração por substituição, pois vemos uma composição de funções na forma (dots)^10 multiplicada pela derivada da parte interna.

Passo 2

Primeiro, observe que traiz t = t^1 + 1/2 = t^3/2. Assim a integral fica
integral (t^3/2 + 5)^10 ; t^1/2 ,dt

Passo 3

Agora, fazemos a substituição típica para integrar potências compostas. Definimos
u = t^3/2 + 5
Em seguida, derivamos em relação a t:
dudt = 32 t^1/2 Longrightarrow t^1/2,dt = 23,du

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
integral (t^3/2 + 5)^10 ; t^1/2 ,dt = integral u^10 cdot 23,du = 23 integral u^10 ,du

Passo 5

Agora integramos u^10:
integral u^10 ,du = u^1111 + C
Logo,
23 integral u^10 ,du = 23 cdot u^1111 + C = 233 ,u^11 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original t, lembrando que u = t^3/2 + 5. Assim, a antiderivada é
233 l(t^3/2 + 5r)^11 + C

Resposta

233,(t^3/2 + 5)^11 + C

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