Passo 1
O exercício pede para calcular de forma geral a integral indefinida
. Isso cai no tópico de integração por partes e vamos explorar uma fórmula de redução para resolver.
Passo 2
Vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que diz:
Seja
e
funções de
, então
Aqui escolhemos
pois multiplicar por
fica mais simples se derivarmos
, e integrar
é direto.
Passo 3
Precisamos agora de
e
:
Derivando
em relação a
, usamos a cadeia:
Integrando
, temos (supondo
):
Passo 4
Substituindo na fórmula de partes:
Simplificando dentro da integral:
Isso é a fórmula de redução.
Passo 5
A fórmula acima permite reduzir o expoente de
de
para
. Repetindo esse passo
vezes, obtemos uma soma telescópica. Após
iterações, surge
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Este resultado é a expressão fechada da nossa integral, escrita em termos de uma soma finita que envolve fatoriais e potências de
. Assim, temos a solução geral para qualquer
e inteiro
.