1. integral x^alpha log ^n x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular de forma geral a integral indefinida integral x^alpha(ln x)^n,dx. Isso cai no tópico de integração por partes e vamos explorar uma fórmula de redução para resolver.

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que diz:
Seja u e dv funções de x, então
integral u,dv = u v - integral v,du
Aqui escolhemos
u = (ln x)^n, dv = x^alpha,dx
pois multiplicar por (ln x)^n fica mais simples se derivarmos u, e integrar x^alpha é direto.

Passo 3

Precisamos agora de du e v:
Derivando u=(ln x)^n em relação a x, usamos a cadeia:
du = n(ln x)^n-1cdot1x,dx
Integrando dv=x^alpha,dx, temos (supondo alphaneq -1):
v=x^alpha+1alpha+1

Passo 4

Substituindo na fórmula de partes:
integral x^alpha(ln x)^n,dx = u v - integral v,du = x^alpha+1alpha+1(ln x)^n - integral x^alpha+1alpha+1cdot n(ln x)^n-11x,dx
Simplificando dentro da integral:
integral x^alpha(ln x)^n,dx = x^alpha+1alpha+1(ln x)^n - nalpha+1integral x^alpha(ln x)^n-1,dx
Isso é a fórmula de redução.

Passo 5

A fórmula acima permite reduzir o expoente de ln x de n para n-1. Repetindo esse passo n vezes, obtemos uma soma telescópica. Após n iterações, surge
integral x^alpha(ln x)^n,dx = x^alpha+1sumj=0^n(-1)^j,n!(n-j)!,(alpha+1)^j+1(ln x)^,n-j + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Este resultado é a expressão fechada da nossa integral, escrita em termos de uma soma finita que envolve fatoriais e potências de (alpha+1). Assim, temos a solução geral para qualquer alphaneq -1 e inteiro n>=0.

Resposta

integral x^alpha(ln x)^n,dx = x^alpha+1sumj=0^n(-1)^j,n!(n-j)!,(alpha+1)^j+1(ln x)^,n-j + C

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