1. integral e^3 x sen(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral e^3xsin(2x),dx. Esse problema envolve integração por partes aplicada a uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica.

Passo 2

Definimos I = integral e^3xsin(2x),dx e fazemos a primeira integração por partes escolhendo u = e^3x e dv = sin(2x),dx. Logo, du = 3e^3x,dx e v = -tfrac12cos(2x). Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du obtemos uma relação entre I e J = integral e^3xcos(2x),dx.

Passo 3

Para achar J, aplicamos novamente integração por partes com u = e^3x e dv = cos(2x),dx. Assim, du = 3e^3x,dx e v = tfrac12sin(2x). Isso gera uma nova relação que também envolve I.

Passo 4

Substituímos a expressão de J obtida no passo anterior na relação do passo 2, montamos uma equação linear em I. Ao resolver essa equação, isolando I, obtemos o valor da integral indefinida buscada.

Resposta

integral e^3xsin(2x),dx = e^3x13l(3sin(2x)-2cos(2x)r)+C

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