Em que ponto(s) P do gráfico da função
, a reta tangente é paralela à reta de equação
?
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os pontos
no gráfico da função
onde a reta tangente é paralela à reta
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e comparação de inclinações de retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a inclinação da reta
. Vamos colocar essa equação na forma
, onde
é a inclinação.
Dividindo ambos os lados por 25:
A inclinação
dessa reta é
.
Passo 3
Para que a reta tangente ao gráfico de
seja paralela à reta dada, a derivada de
deve ser igual à inclinação da reta, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Podemos reescrever a função como
e aplicar a regra da potência:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada à inclinação da reta:
Podemos simplificar os sinais negativos:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Isolando
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Agora, encontramos as coordenadas dos pontos
substituindo esses valores de
na função
.
Para
:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Resposta
Os pontos
onde a reta tangente é paralela à reta
são
e
.