Em que ponto(s) P do gráfico da função f(x)=1x+2, x neq-2, a reta tangente é paralela à reta de equação 25 y=-x+6 ?

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos no gráfico da função onde a reta tangente é paralela à reta . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e comparação de inclinações de retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a inclinação da reta y = -125x + 625 . Vamos colocar essa equação na forma , onde é a inclinação.
Dividindo ambos os lados por 25:
A inclinação dessa reta é .

Passo 3

Para que a reta tangente ao gráfico de seja paralela à reta dada, a derivada de deve ser igual à inclinação da reta, ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f'(x) = -1 cdot (x + 2)^-2 = -1(x + 2)^2 . Podemos reescrever a função como e aplicar a regra da potência:

Passo 5

Agora, igualamos a derivada à inclinação da reta:
-1(x + 2)^2 = -125
Podemos simplificar os sinais negativos:
1(x + 2)^2 = 125

Passo 6

Resolvendo a equação:
(x + 2)^2 = 25
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
x + 2 = pm 5

Passo 7

Isolando x = -2 pm 5 :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Agora, encontramos as coordenadas dos pontos f(3) = 13 + 2 = 15 substituindo esses valores de f(-7) = 1-7 + 2 = 1-5 = -15 na função .
Para :
Então, .
Para :
Então, .

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é paralela à reta são e .

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