integral raiz2024^2-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que é integral raiz2024^2-x^2 , dx. Essa questão está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm essa estrutura de raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da integral. Temos raiz2024^2-x^2, que é semelhante a raiza^2 - x^2 onde a = 2024. A substituição trigonométrica que a gente usa aqui é definir x = a sin theta. Então, vamos deixar x = 2024 sin theta.

Passo 3

Com x = 2024 sin theta, precisamos encontrar dx em termos de theta. Derivando ambos os lados, temos:
dx = 2024 cos theta , dtheta
Então, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, fica:
integral raiz2024^2 - (2024 sin theta)^2 cdot 2024 cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz2024^2 - 2024^2 sin^2 theta = 2024 raiz1 - sin^2 theta = 2024 cos theta
Então, a integral agora é:
integral 2024 cos theta cdot 2024 cos theta , dtheta = 2024^2 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2 theta. A gente pode usar a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então, a integral fica:
2024^2 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2024^22 integral (1 + cos 2theta) , dtheta

Passo 6

Integrando termo a termo:
2024^22 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 2024^22 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos x = 2024 sin theta, então:
sin theta = x2024 implies theta = arcsin(x2024)
E também, sin 2theta = 2 sin theta cos theta. Sabemos que cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (x2024)^2 = raiz2024^2 - x^22024.

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
2024^22 ( arcsin(x2024) + 2 cdot x2024 cdot raiz2024^2 - x^220242 ) + C
Simplificando:
2024^22 arcsin(x2024) + x raiz2024^2 - x^22 + C

Resposta

A integral integral raiz2024^2-x^2 , dx é igual a:
x2 raiz2024^2 - x^2 + 2024^22 arcsin(x2024) + C
onde C é a constante de integração.

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