Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que é . Essa questão está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm essa estrutura de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da integral. Temos , que é semelhante a onde . A substituição trigonométrica que a gente usa aqui é definir . Então, vamos deixar .
Passo 3
Com , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados, temos:
Então, substituímos e na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, fica:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Agora, precisamos integrar . A gente pode usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
E também, . Sabemos que .
Passo 8
Substituindo de volta, temos:
Simplificando:
2024^22 arcsin(x2024) + x raiz2024^2 - x^22 + C
Resposta
A integral integral raiz2024^2-x^2 , dx é igual a: