(a)
(b)
.
(b)
Passo 1
O exercício pede para avaliar duas integrais triplas em retangular cujos limites formam regiões bem simétricas, e o conteúdo principal é a mudança para coordenadas esféricas. Vamos usar x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ e o jacobiano dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ.
Passo 2
Para (a), note que a região está entre a superfície z=√(x²+y²) e a esfera x²+y²+z²=8, com projeção no plano xy dada por x²+y²≤4. Em esféricas temos z=ρ cosφ≥ρ sinφ⇒φ≤π/4, e ρ vai de 0 até √8=2√2. Como não há restrição em θ, θ∈[0,2π]. O integrando x²+y²+z² vira ρ² e dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ.
A integral (a) passa a ser ∫₀{2π}∫₀{π/4}∫₀^{2√2} ρ²·ρ² sinφ dρ dφ dθ = ∫₀{2π}dθ·∫₀{π/4}sinφ dφ·∫₀^{2√2}ρ⁴ dρ. Calculamos ∫₀^{2π}dθ=2π, ∫₀^{π/4}sinφ dφ=1−1/√2 e ∫₀^{2√2}ρ⁴ dρ=(2√2)⁵/5=128√2/5. Multiplicando, obtemos 256π(√2−1)/5.
A integral (a) passa a ser ∫₀{2π}∫₀{π/4}∫₀^{2√2} ρ²·ρ² sinφ dρ dφ dθ = ∫₀{2π}dθ·∫₀{π/4}sinφ dφ·∫₀^{2√2}ρ⁴ dρ. Calculamos ∫₀^{2π}dθ=2π, ∫₀^{π/4}sinφ dφ=1−1/√2 e ∫₀^{2√2}ρ⁴ dρ=(2√2)⁵/5=128√2/5. Multiplicando, obtemos 256π(√2−1)/5.
Passo 3
Para (b), o domínio no xy é 0≤y≤√2, y≤x≤√(4−y²), ou seja, setor no 1º quadrante com x²+y²≤4 e x≥y⇒θ∈[0,π/4], r∈[0,2]. Em 3D z vai de 0 até √(4−r²), que em esféricas é φ∈[0,π/2] e ρ∈[0,2]. O integrando √(x²+y²+z²)=ρ e dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ.
A integral (b) vira ∫₀{π/4}∫₀{π/2}∫₀² ρ·ρ² sinφ dρ dφ dθ = (∫₀{π/4}dθ)(∫₀{π/2}sinφ dφ)(∫₀²ρ³ dρ) = (π/4)·1·4 = π.
A integral (b) vira ∫₀{π/4}∫₀{π/2}∫₀² ρ·ρ² sinφ dρ dφ dθ = (∫₀{π/4}dθ)(∫₀{π/2}sinφ dφ)(∫₀²ρ³ dρ) = (π/4)·1·4 = π.
Resposta
(a)
, (b)
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