Se sumn=1^+infty an é uma série convergente, com termos positivos, é verdade que sumn=1^+infty sen(an) também converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a série converge e que todos os termos são positivos. O objetivo é descobrir se a série também converge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries convergentes e as propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, já que a série converge e cada é positivo, sabemos que os termos tendem a zero quando cresce. Isso é importante porque se os termos não tendissem a zero, a série não poderia convergir.

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Para valores de pequenos, a função seno pode ser aproximada por . Isso significa que, para termos grandes (onde é pequeno), se comporta de forma similar a .

Passo 4

Além disso, sabemos que para todo , quando é positivo e pequeno. Assim, para cada , temos . Isso nos permite usar o teste de comparação para séries.

Passo 5

Usando o teste de comparação, já que converge e para todo suficientemente grande, podemos concluir que a série também converge. Basicamente, uma série menor que uma que já sabemos que converge, também converge.

Resposta

Sim, a série também converge.

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