Se
é uma série convergente, com termos positivos, é verdade que
também converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a série
converge e que todos os termos
são positivos. O objetivo é descobrir se a série
também converge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries convergentes e as propriedades da função seno.
Passo 2
Primeiro, já que a série
converge e cada
é positivo, sabemos que os termos
tendem a zero quando
cresce. Isso é importante porque se os termos não tendissem a zero, a série não poderia convergir.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Para valores de
pequenos, a função seno pode ser aproximada por
. Isso significa que, para termos grandes (onde
é pequeno),
se comporta de forma similar a
.
Passo 4
Além disso, sabemos que para todo
,
quando
é positivo e pequeno. Assim, para cada
, temos
. Isso nos permite usar o teste de comparação para séries.
Passo 5
Usando o teste de comparação, já que
converge e
para todo
suficientemente grande, podemos concluir que a série
também converge. Basicamente, uma série menor que uma que já sabemos que converge, também converge.
Resposta
Sim, a série
também converge.