integral raize^2 t-9 d t

Passo 1

O problema é calcular integral raize^2t - 9,dt. Esse tipo de integral envolve a raiz quadrada de uma função exponencial. Vamos usar substituição para transformar num formato que a gente conhece.

Passo 2

Fazendo a substituição u = e^t, temos du = e^t,dt logo dt = tfracduu. Além disso e^2t = u^2. Assim a integral vira integral tfracraizu^2 - 9u,du.

Passo 3

Para resolver integral tfracraizu^2 - 9u,du, definimos z = raizu^2 - 9. Então z^2 = u^2 - 9 e u^2 = z^2 + 9. Derivando ambos lados: 2u,du = 2z,dz, o que dá du = tfraczu,dz.

Passo 4

Substituindo na integral inicial e lembrando que u^2 = z^2 + 9, obtemos:
integral tfracraizu^2 - 9u,du = integral tfraczu cdot du = integral tfracz^2u^2,dz = integral tfracz^2z^2 + 9,dz

Passo 5

Reescrevendo a fração dentro da integral: tfracz^2z^2 + 9 = 1 - tfrac9z^2 + 9. Então
integral tfracz^2z^2 + 9,dz = integral 1,dz - integral tfrac9z^2 + 9,dz = z - 3arctanl(tfracz3r) + C

Passo 6

Voltando às variáveis originais: z = raizu^2 - 9 = raize^2t - 9 e u = e^t. Logo a integral fica
raize^2t - 9 - 3arctanl(tfracraize^2t - 93r) + C

Resposta

[\n\sqrt{e^{2t} - 9} - 3\arctan\bigl(\tfrac{\sqrt{e^{2t} - 9}}{3}\bigr) + C\n]

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