Passo 1
O problema é calcular
. Esse tipo de integral envolve a raiz quadrada de uma função exponencial. Vamos usar substituição para transformar num formato que a gente conhece.
Passo 2
Fazendo a substituição
, temos
logo
. Além disso
. Assim a integral vira
.
Passo 3
Para resolver
, definimos
. Então
e
. Derivando ambos lados:
, o que dá
.
Passo 4
Substituindo na integral inicial e lembrando que
, obtemos:
Passo 5
Reescrevendo a fração dentro da integral:
. Então
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
e
. Logo a integral fica
Resposta
[\n\sqrt{e^{2t} - 9} - 3\arctan\bigl(\tfrac{\sqrt{e^{2t} - 9}}{3}\bigr) + C\n]