(2 Pontos) Determine o fluxo do campo vetorial F=lang<= x z, x, yrang<=, através da metade direta do cilindro x^2+y^2=25, com y >= 0, entre os planos z=0 e z=1, orientada na direção do eixo Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o fluxo do campo vetorial F = lang<= xz, x, y rang<= através da metade direta do cilindro x^2+y^2=25 com y >= 0, entre os planos z=0 e z=1, orientada na direção do eixo Z. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo campos vetoriais e fluxo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular fluxo através de uma superfície usando integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície pela qual queremos calcular o fluxo. Temos um cilindro de raio 5 ( raiz25) definido por x^2+y^2=25, mas só a metade onde y >= 0. Além disso, esse cilindro está entre os planos z=0 e z=1, então temos uma “meia lata” vertical. A orientação na direção do eixo Z significa que a normal à superfície deve apontar para cima, seguindo o eixo Z.

Passo 3

Para calcular o fluxo, usamos a fórmula da integral de superfície:
integral duplaS F cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície. Vamos parametrizar a superfície do cilindro. Usando coordenadas cilíndricas facilita, já que a superfície é parte de um cilindro. Vamos definir:
x = 5 costheta y = 5 sintheta z = z
Com theta variando de 0 a pi (já que y >= 0) e z de 0 a 1.

Passo 4

Agora, encontramos os vetores tangentes à superfície derivando as parametrizações em relação a theta e z:
partial rpartial theta = lang<= -5 sintheta, 5 costheta, 0 rang<= partial rpartial z = lang<= 0, 0, 1 rang<=
O vetor normal n é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = partial rpartial theta times partial rpartial z = lang<= 5 costheta, 5 sintheta, 0 rang<=
Note que n está direcionado para fora do cilindro e na direção do eixo Z, conforme solicitado.

Passo 5

Agora, substituímos os parâmetros na função F:
F = lang<= xz, x, y rang<= = lang<= 5 costheta cdot z, 5 costheta, 5 sintheta rang<=
Calculamos o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (5 costheta cdot z)(5 costheta) + (5 costheta)(5 sintheta) + (5 sintheta)(0) = 25 cos^2theta cdot z + 25 costheta sintheta

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para o fluxo:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^pi integral0^1 (25 cos^2theta cdot z + 25 costheta sintheta ) cdot 5 , dz , dtheta
Aqui, o 5 vem do dS = | n | dtheta dz = 5 dtheta dz.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em z:
integral0^1 25 cos^2theta cdot z , dz = 25 cos^2theta cdot [ z^22 ]0^1 = 252 cos^2theta
E para a segunda parte:
integral0^1 25 costheta sintheta , dz = 25 costheta sintheta cdot [z]0^1 = 25 costheta sintheta

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral em theta:

Passo 9

Resolvemos as integrais:
Para integral0^pi cos^2theta , dtheta:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 integral0^pi 1 + cos(2theta)2 dtheta = 12 [ theta + sin(2theta)2 ]0^pi = pi2
Para integral0^pi costheta sintheta , dtheta:
Usando substituição u = sintheta, du = costheta dtheta:
integral costheta sintheta dtheta = sin^2theta2 [ sin^2theta2 ]0^pi = 0

Passo 10

Substituindo os resultados:
Fluxo = 1252 cdot pi2 + 125 cdot 0 = 125pi4

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície especificada é 125pi4.

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