(2 Pontos) Determine o fluxo do campo vetorial , através da metade direta do cilindro , com , entre os planos , orientada na direção do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o fluxo do campo vetorial através da metade direta do cilindro com , entre os planos e , orientada na direção do eixo . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo campos vetoriais e fluxo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular fluxo através de uma superfície usando integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície pela qual queremos calcular o fluxo. Temos um cilindro de raio 5 () definido por , mas só a metade onde . Além disso, esse cilindro está entre os planos e , então temos uma “meia lata” vertical. A orientação na direção do eixo significa que a normal à superfície deve apontar para cima, seguindo o eixo .
Passo 3
Para calcular o fluxo, usamos a fórmula da integral de superfície:
Onde é o vetor normal à superfície. Vamos parametrizar a superfície do cilindro. Usando coordenadas cilíndricas facilita, já que a superfície é parte de um cilindro. Vamos definir:
Com variando de a (já que ) e de a .
Passo 4
Agora, encontramos os vetores tangentes à superfície derivando as parametrizações em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Note que está direcionado para fora do cilindro e na direção do eixo , conforme solicitado.
Passo 5
Agora, substituímos os parâmetros na função :
Calculamos o produto escalar :
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para o fluxo: