integral sec ^4(ln x)x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral sec^4(ln x)x,dx. O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas usando técnica de substituição. Vamos precisar usar a substituição t=ln x para simplificar a expressão.

Passo 2

Fazendo a substituição t = ln x, temos dt = 1x,dx. Assim a integral original fica
integral sec^4(ln x)x,dx = integral sec^4(t),dt

Passo 3

Para integrar integral sec^4(t),dt, note que sec^4(t)=sec^2(t)cdotsec^2(t) e que ddt(tan t)=sec^2(t). Fazendo a nova substituição u=tan t, temos du=sec^2(t),dt. Logo:
∫ sec^4(t) dt = ∫ sec^2(t) · sec^2(t) dt
             = ∫ u^2 du
             = u^3/3 + C

Passo 4

Voltando às variáveis originais: u=tan t e t=ln x. Então o resultado final é
tan^3l(ln xr)3 + C

Resposta

tan^3l(ln xr)3 + C

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