integral 3 w^3+13 w+4w^3+4 w d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional. O conteúdo aqui é Integração de Funções Racionais e vamos precisar usar divisão de polinômios (para tornar a fração própria) e frações parciais para decompor em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão do numerador pelo denominador para verificar se a fração é imprópria. Dividindo 3w^3+13w+4 por w^3+4w, o quociente é 3 e o resto é w+4. Então temos:
3w^3+13w+4w^3+4w=3+w+4w^3+4w

Passo 3

Agora focamos em decompor dfracw+4w(w^2+4) em frações parciais. Assumimos:
w+4w(w^2+4)=Aw+Bw+Cw^2+4

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por w(w^2+4) e comparamos coeficientes:
w+4=A(w^2+4)+(Bw+C)w=(A+B)w^2+Cw+4A
Igualando coeficientes de cada potência de w:
  • Para w^2: A+B=0
  • Para w^1: C=1
  • Para termo constante: 4A=4
    Logo, A=1, B=-1 e C=1. Portanto:
w+4w(w^2+4)=1w+-w+1w^2+4

Passo 5

Reescrevendo a integral com a decomposição:
integral 3w^3+13w+4w^3+4w,dw=integrall(3+1w+-w+1w^2+4r)dw

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
  • integral 3,dw=3w
  • integral 1w,dw=ln|w|
  • Para integral -ww^2+4,dw, usamos u=w^2+4, então du=2w,dw, o que dá integral -ww^2+4,dw=-12integral duu=-12ln(w^2+4)
  • E integral 1w^2+4,dw=12arctanl(tfracw2r)

Passo 7

Juntando todas as partes, a integral fica:
3w+ln|w|-tfrac12ln(w^2+4)+tfrac12arctanl(tfracw2r)+C

Resposta

3w + \ln|w| - \tfrac12\ln\bigl(w^2+4\bigr) + \tfrac12\arctan\Bigl(\tfrac{w}{2}\Bigr) + C

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