Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional. O conteúdo aqui é Integração de Funções Racionais e vamos precisar usar divisão de polinômios (para tornar a fração própria) e frações parciais para decompor em termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, fazemos a divisão do numerador pelo denominador para verificar se a fração é imprópria. Dividindo
por
, o quociente é 3 e o resto é
. Então temos:
Passo 3
Agora focamos em decompor
em frações parciais. Assumimos:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
e comparamos coeficientes:
Igualando coeficientes de cada potência de
:
- Para
: - Para
: - Para termo constante:
Logo,, e . Portanto:
Passo 5
Reescrevendo a integral com a decomposição:
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
-
-
- Para
, usamos , então , o que dá - E
Passo 7
Juntando todas as partes, a integral fica:
Resposta
3w + \ln|w| - \tfrac12\ln\bigl(w^2+4\bigr) + \tfrac12\arctan\Bigl(\tfrac{w}{2}\Bigr) + C