1. integral d x(x+1) raizx^2+2 x+5

Passo 1

A gente quer calcular integral dx(x+1)raizx^2+2x+5. O conteúdo é integração envolvendo radical, e vamos precisar completar o quadrado no radicando e usar uma substituição para chegar num integral padrão da forma integral duuraizu^2+a^2.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em x^2+2x+5:
x^2+2x+5=(x+1)^2+4

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=x+1, logo du=dx. Com isso, o integrando vira
integral dx(x+1)raizx^2+2x+5=integral duuraizu^2+4

Passo 4

Esse integral é uma forma padrão. Sabendo que
integral duuraizu^2+a^2=-1alnl|a+raizu^2+a^2ur|+C,
basta comparar: aqui a=2. Então
integral duuraizu^2+4=-12lnl|2+raizu^2+4ur|+C

Passo 5

Por fim, voltamos para x lembrando que u=x+1:
integral dx(x+1)raizx^2+2x+5=-12lnl|2+raiz(x+1)^2+4x+1r|+C

Resposta

-tfrac12lnl|tfrac2+raiz(x+1)^2+4x+1r|+C

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