1. integral sec ^2 x ln (tg x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sec^2 x ln(tan x),dx. Isso cai no conteúdo de técnicas de integração, mais precisamente mudança de variável, pois temos sec^2 x que é a derivada de tan x.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=tan x. Então, derivando ambos os lados, temos:
du = sec^2 x,dx

Passo 3

Com essa mudança, o integrando sec^2 x,dx vira du e ln(tan x) vira ln(u). Logo, a integral original se transforma em:
integral sec^2 x ln(tan x),dx = integral ln(u),du

Passo 4

Agora precisamos calcular integral ln(u),du. Para isso, aplicamos integração por partes, escolhendo:
  • U=ln(u), então dU=1u,du.
  • dV=du, então V=u.
    Pela fórmula de integração por partes integral U,dV = UV - integral V,dU, temos:
integral ln(u),du = uln(u) - integral ucdot 1u,du = uln(u) - integral 1,du

Passo 5

Integrando integral 1,du, obtemos u. Logo:
integral ln(u),du = uln(u) - u + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável x usando u=tan x. Assim,
integral sec^2 x ln(tan x),dx = tan xln(tan x) - tan x + C

Resposta

tan xln(tan x) - tan x + C

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