1. integral e^xe^2 x+3 e^x+3 d x

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia: queremos calcular a integral
integral e^xe^2x+3e^x+3,dx,
que exige primeira uma substituição para transformar em integral de função racional e depois completar o quadrado para chegar numa forma de arco-tangente.

Passo 2

Fazendo a substituição t=e^x, daí dt=e^x,dx. A integral se torna
integral dtt^2+3t+3

Passo 3

Completando o quadrado no denominador. Note que
t^2+3t+3=(t+tfrac32)^2+tfrac34

Passo 4

Definimos u=t+tfrac32, logo du=dt e o denominador vira u^2+(tfracraiz32)^2. Assim
integral dtt^2+3t+3=integral duu^2+(tfracraiz32)^2

Passo 5

Aplicando a fórmula
integral duu^2+a^2=1aarctanl( u ar)+C,
com a=tfracraiz32, obtemos
1(raiz3/2)arctanl(u(raiz3/2)r)+C =2raiz3arctanl(2uraiz3r)+C

Passo 6

Voltando às variáveis originais: u=t+3/2=e^x+3/2. Logo a integral é
2raiz3arctanl(2(e^x+3/2)raiz3r)+C =2raiz3arctanl(2e^x+3raiz3r)+C

Resposta

2raiz3arctanl(2e^x+3raiz3r)+C

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