1. integral sen^2(3 theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^2(3theta) ,dtheta. O conteúdo aqui é a integração de funções trigonométricas ao quadrado, e vamos precisar usar a identidade de ângulo duplo para transformar sin^2 em termos de cosseno.

Passo 2

Para simplificar sin^2(3theta), usamos a identidade sin^2x=tfrac12l(1-cos(2x)r). Substituindo x=3theta, temos:
sin^2(3theta)=tfrac12l(1-cos(6theta)r)
Assim, a integral vira
integral sin^2(3theta),dtheta=integral tfrac12l(1-cos(6theta)r),dtheta=tfrac12integral1,dtheta-tfrac12integralcos(6theta),dtheta

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente. Para o primeiro temos
tfrac12integral1,dtheta=tfrac12theta
e para o segundo usamos integralcos(ktheta),dtheta=tfrac1ksin(ktheta). Assim:
tfrac12integralcos(6theta),dtheta=tfrac12cdottfrac16sin(6theta)=tfrac112sin(6theta)
Juntando os resultados e lembrando a constante de integração +C), obtemos a antiderivada completa.

Resposta

theta2-sin(6theta)12+C

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