1. integral(e^x+2)^4 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral (e^x+2)^4 e^x,dx. Isso é um caso típico de integração por substituição em função composta, onde vamos usar a ideia de inverter a regra da cadeia.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = e^x + 2. Então, derivando ambos os lados, obtemos du = e^x,dx. Dessa forma, o fator e^x,dx se transforma em du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos integral (e^x+2)^4 e^x,dx = integral u^4,du. Agora é só integrar o polinômio.

Passo 4

Integrando, integral u^4,du = u^55 + C. Por fim, voltamos à variável original: u = e^x + 2.

Resposta

(e^x+2)^55 + C

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