1. integral x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x(1+x^2)^2,dx. Esse é um caso clássico de integração por substituição, pois o denominador é uma função de x^2 e o numerador traz x,dx, que está bem relacionado à derivada de 1+x^2.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = 1 + x^2. Então derivando ambos os lados temos:
du = 2x,dx
Isso implica em x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Agora substituímos na integral:
integral x(1+x^2)^2,dx = integral tfrac12,duu^2 = tfrac12 integral u^-2,du
Para integrar usamos a regra da potência: integral u^n,du = tfracu^n+1n+1 + C quando n neq -1.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso n = -2:
tfrac12 integral u^-2,du = tfrac12 cdot u^-1-1 + C = -12u + C
Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 1 + x^2.

Resposta

-\tfrac{1}{2\bigl(1 + x^{2}\bigr)} + C

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