Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. Esse é um caso clássico de integração por substituição, pois o denominador é uma função de
e o numerador traz
, que está bem relacionado à derivada de
.
Passo 2
Vamos fazer a substituição
. Então derivando ambos os lados temos:
Isso implica em
.
Passo 3
Agora substituímos na integral:
Para integrar usamos a regra da potência:
quando
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso
:
Por fim, voltamos à variável
substituindo
.
Resposta
-\tfrac{1}{2\bigl(1 + x^{2}\bigr)} + C