integral sen^3(x) cos ^8(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sen^3(x) cos^8(x) ,dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências de seno e cosseno, então vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas para simplificar e resolver.

Passo 2

Primeiro, observe que o expoente de seno é ímpar (3). Isso é importante porque podemos separar uma potência de seno e reescrever o restante em termos de cosseno usando a identidade sen^2(x) = 1 - cos^2(x).
Então, escrevemos:
sen^3(x) = sen(x) cdot sen^2(x) = sen(x) cdot (1 - cos^2(x))

Passo 3

Substituímos essa expressão na integral original:
integral sen^3(x) cos^8(x) ,dx = integral sen(x) cdot (1 - cos^2(x)) cdot cos^8(x) ,dx
Simplificando, temos:
= integral sen(x) cdot cos^8(x) ,dx - integral sen(x) cdot cos^10(x) ,dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Definimos:
u = cos(x) Rightarrow du = -sen(x) ,dx Rightarrow -du = sen(x) ,dx
Substituindo na integral, temos:
= integral u^8 cdot (-du) - integral u^10 cdot (-du)
= -integral u^8 ,du + integral u^10 ,du

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
- integral u^8 ,du = -u^99 + C1
integral u^10 ,du = u^1111 + C2
Juntando tudo:
- u^99 + u^1111 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u = cos(x) de volta na expressão:
- cos^9(x)9 + cos^11(x)11 + C

Resposta

A integral integral sen^3(x) cos^8(x) ,dx é igual a - dfraccos^9(x)9 + dfraccos^11(x)11 + C.

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